📝 大连理工大学 2023年高等代数真题

1．计算行列式

$$
\operatorname{det}(|i-j|)=\left|\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
2 & 1 & 0 & \cdots & n-4 & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0 & 1 \\
n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right|
$$

2．用正交线性替换化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{3}$ 为标准形，写出所作正交线性替换以及标准形。

3．当 $a, b$ 为何值时，下面方程有唯一解，无穷多解，无解？

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=3 \\
x_{1}+x_{2}+b x_{3}=2 \\
x_{1}+x_{2}+2 b x_{3}=3
\end{array}\right.
$$

1．已知 $n$ 维向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 为线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系，$n$ 维向量 $\beta$ 不是 $A X=0$的解．证明：向量组 $\beta, \beta+\alpha_{1}, \cdots, \beta+\alpha_{r}$ 线性无关．

2．设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$p^{2} \mid(a+1)$ ，证明：多项式 $f(x)=a x^{p}+p x+1$ 没有有理根．

3．设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_{n}$ 是 $A$ 最大的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{n}=\max _{0 \neq X \in \mathbb{R}^{n}} \frac{X^{T} A X}{X^{T} X}, \mathbb{R}^{n}$ 为实 $n$ 维列向量的集合．

4．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，用 $\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 和 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 分别表示 $\mathscr{A}$ 的值域和核，证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A} \subset \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 的充要条件是 $\mathscr{A}^{2}$ 等于零变换。

5．设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上的 $(n-m) \times n$ 矩阵。令 $V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}$ ， $V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\}$ ．已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的 $\mathscr{A}-$ 子空间，已知 $\mathscr{A}$ 有 $k$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ ，相应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{k}$ ，证明：若 $\xi_{1}+\xi_{2}+\cdots+\xi_{k} \in W$ ，则 $\operatorname{dim} W \geq k$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，若 $\mathscr{A}$ 不改变向量的距离，即 $|\mathscr{A} \alpha-\mathscr{A} \beta|=|\alpha-\beta|$ 对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 成立。证明： $\mathscr{A}$ 是正交变换．

8．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 12 & 2022 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，证明：矩阵方程 $X^{2}=A$ 无解，其中 $X \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ ．

1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量．
（1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ；
（2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ；
（3）证明：$f$ 是正定二次型．

2．已知矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-1} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & -a_{2} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{1}
\end{array}\right)
$$

（1）若 $A F=F A$ ，证明：$A=a_{11} E+a_{21} F+a_{31} F^{2}+\cdots+a_{n 1} F^{n-1}$ ；
（2）求子空间 $C(F)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid B F=F B\right\}$ 的维数．