📝 大连理工大学 2025年高等代数真题

1．求行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & n+1\end{array}\right|$ ．

2．非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
k x_{1}+x_{2}+x_{3}=k \\
x_{1}+k x_{2}+x_{3}=1 \\
x_{1}+x_{2}+k x_{3}=k
\end{array}\right.
$$

何时有唯一解，有无穷多解，无解？并在有无穷多解时求通解．

3．设 $f(x, y, z)=x^{2}+t y^{2}+z^{2}+2 x y-2 t x z-2 y z$ 的正负惯性指数都为 1 ，求 $t$ 的值．

1．$f(x)$ 是首 1 的 $n$ 次多项式，且 $f(1)=0$ ．若 $f^{\prime}(x) \mid f(x)$ ，证明：$f(x)=(x-1)^{n}$ ．

2．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 的秩为 $r$ ，任取 $t$ 个向量 $\alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \cdots, \alpha_{i_{t}}$ ，证明它的秩大于等式 $r-s+t$ ．

3．设 $A$ 是实反称矩阵，证明：$E+A$ 可逆，且 $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$ 为 $|Q|=1$ 的正交矩阵．

4．已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{3}=O$ ，证明：$\displaystyle E+A+\frac{A^{2}}{2}$ 可逆．

5．设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：$A B$ 与 $B A$ 有相同的特征多项式．

6．设 $\mathscr{A}$ 为欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W \subseteq V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，证明：$W^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间．

7．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也正定．

8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。

1．已知 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A B=A-B$ ．证明：
（1）$E+A$ 可逆
（2）$A B=B A$ ．
（3）$A, B$ 秩相同．
（4）若 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间．
（1）若 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，证明：在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathscr{A}\left(\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}\right)$ ，使得

$$
V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A} .
$$

（2）设

$$
\begin{gathered}
V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}, \\
V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}\right\} .
\end{gathered}
$$

证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ，并求 $P^{n}$ 上的幂等变换 $\mathscr{A}$ ，使得 $V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．