📝 湘潭大学 2025年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ．

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})$ ．

1． $\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x$ ．

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} d x$ ．

七．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $I$ 上的凸函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在区间 $I$ 的任一闭子区间上有界．

三．（15分）设 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格单调增加的正无穷大量，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0$ ．

九．（15分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ．
（1）（9分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续．
（2）（6 分）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 发散．

五．（15分）讨论反常积分的玫散性： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} d x, p \in \mathbb{R}$ ．

八．（15 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上存在二阶连续的导数，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 有界．试证：
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$.

六．（10分）计算重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y^{2} d x d y$ ，其中 $D$ 为抛物线 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ 和直线 $\displaystyle x=\frac{p}{2}(p>0)$ 所围的区域．

十．（15分）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(y-x^{3}\right) d y d z+\left(y^{3}-z\right) d z d x+2 d x d y$ ．其中 $S$ 是锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ ，方向取下侧．

四．（10分）证明不等式：$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x, x>0$ ．