设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=\mathrm{e}^{y+a z}$（ $a$ 是非零常数）确定，则（ ）。
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\displaystyle\frac{3+(-1)^n}{4}\right)^n x^{2n}$ 的收敛域是
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
已知有界区域 $\Omega$ 由曲面 $z = \sqrt{4-x^2-y^2}$ 与 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 围成，函数 $f(u)$ 连续，则 $\iiint_\Omega f(x^2+y^2+z^2) dx dy dz =$
单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则 D ． $\boldsymbol{A}^{-1}=-\boldsymbol{A}^{*}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，若 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组可由 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性表示，则
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ．若方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-1$ 表示的曲面为圆柱面，则 ，且 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换下的标准形为 $-6 y_{1}^{2}-6 y_{2}^{2}$ ． ，且 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换下的标准形为 $-6 y_{1}^{2}-6 y_{2}^{2}$ ．
设随机函数 $X \sim N(1,2)$ ，令 $f(t)=E\left[(X+t)^{2}\right]$ ，则 $f(t)$ 的最小值点和最小值分别为
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F(a y+b), X$ 的数学期望为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^{2}(\sigma\gt 0)$ ，若 $Y$ 的数学期望和方差分别为 0 和 1 ，则 A ．$a=\sigma, b=\mu$ ．
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}$ = $\displaystyle\frac{1}{2^{k+1}} + \displaystyle\frac{1}{3^k}$（$k=1,2,\cdots$），则对于正整数 $m, n$，有
设向量 $\boldsymbol{v}_{1}=(0, x, z), \boldsymbol{v}_{2}=(y, 0,1)$ ．令 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=\boldsymbol{v}_{1} \times \boldsymbol{v}_{2}$ ，则 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}=$ $\_\_\_\_$。
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \sin ^{2} t, \\ y=t+\cos t\end{array}\left(t \in\left(0, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\right)\right.$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\displaystyle\frac{\pi}{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\ln (x+1)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，记 $m(\boldsymbol{X})$ 为 3 阶矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的实特征值中的最大值．若 $m(\boldsymbol{A})\lt m(\boldsymbol{B})$ ，则 $a$ 的取值范围是
（本题满分 12 分）
设函数 $f(u)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内具有3阶连续导数，且存在可微函数 $F(x, y)$ 使得
$$dF(x, y) = \frac{f(xy)}{x^2y} dx + \frac{f''(xy)}{xy^2} dy \quad (xy \gt 0)$$
（1）证明：$\displaystyle\frac{f''(u)}{u} - \displaystyle\frac{f(u)}{u} = C$，$C$ 为常数；
（2）设 $f(1) = 1$，$f'(1) = -1$，$f''(1) = 0$，求 $f(u)$ 的表达式
（本题满分 12 分）
设有向曲线 $L$ 为椭圆 $x^2+3y^2=1$ 上沿逆时针方向从点 $A\left(-\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{2}\right)$ 到点 $B\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ 的部分，计算曲线积分 $I=\displaystyle\int_L\left(e^{x^2} \sin x-2xy\right) dx+\left(6x-x^2-y\cos^4 y\right) dy$。
（本题满分 12 分）
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x) dx=0$，记 $a=\displaystyle\int_0^1 f(x) dx$。
（1）证明 $a\gt 0$；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\displaystyle\int_1^x f(t) dt$，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$，使得 $F''(\xi)=0$。
（本题满分 12 分）
已知向量组 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}$, $\alpha_2=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$, $\alpha_3=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$, $\alpha_4=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$，记
$$A=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4), \quad G=(\alpha_1, \alpha_2)$$
（1）证明：$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组；
（2）求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$，并求 $A^{10}$。
（本题满分 12 分）
假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数。为估计 $\theta$，取 $n$ 个这种元件同时做寿命试验，试验到出现 $k(1 \leq k \leq n)$ 个元件失效时停止。
（1）若 $k=1$，失效元件的寿命记为 $T$，（i）求 $T$ 的概率密度；（ii）确定 $a$，使得 $\hat{\theta}=aT$是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$；
（2）已知 $k$ 个失效元件的寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$，似然函数为 $L(\theta)=\displaystyle\frac{1}{\theta^k} e^{-\displaystyle\frac{1}{\theta}\left[\displaystyle\sum_{i=1}^k t_i+(n-k) t_k\right]}$，求 $\theta$ 的最大似然估计值。