若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left[\displaystyle\frac{1}{x}-\left(\displaystyle\frac{1}{x}-a\right) \mathrm{e}^{x}\right]=1$ ，则 $a$ 等于
设 $y_{1}, y_{2}$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_{1}+\mu y_{2}$ 是该方程的解，$\lambda y_{1}-\mu y_{2}$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
设函数 $f(x), g(x)$ 具有二阶导数，且 $g^{\prime \prime}(x)\lt 0$ ．若 $g\left(x_{0}\right)=a$ 是 $g(x)$ 的极值，则 $f(g(x))$ 在 $x_{0}$处取极大值的一个充分条件是 $(\mathrm{A}) f^{\prime}(a)\lt 0$ ． $(\mathrm{C}) f^{\prime \prime}(a)\lt 0$ ．
设 $f(x)=\ln ^{10} x, g(x)=x, h(x)=\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{x}{10}}$ ，则当 $x$ 充分大时有 $(\mathrm{A}) g(x)\lt h(x)\lt f(x)$. $(\mathrm{B}) h(x)\lt g(x)\lt f(x)$. $(\mathrm{C}) f(x)\lt g(x)\lt h(x)$. $(\mathrm{D}) g(x)\lt f(x)\lt h(x)$.
设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示。下列命题正确的是
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于（
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x\lt 0, \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \quad \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$，$\text { 则 } P\{X=1\}=$( )
设 $f_{1}(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$f_{2}(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_{1}(x), & x \leqslant 0 \\
b f_{2}(x), & x\gt 0
\end{array} \quad(a\gt 0, b\gt 0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足（ ）
设可导函数 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle\int_{0}^{x+y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\displaystyle\int_{0}^{x} x \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
设位于曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x\left(1+\ln ^{2} x\right)}}(\mathrm{e} \leqslant x\lt+\infty)$ 下方，$x$ 轴上方的无界区域为 $G$ ，则 $G$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得空间区域的体积为 $\_\_\_\_$。
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=3,|\boldsymbol{B}|=2,\left|\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}\right|=2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ 的简单随机样本。记统计量 $T=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ，则 $E(T)=$ $\_\_\_\_$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\displaystyle\frac{1}{x}}-1\right)^{\displaystyle\frac{1}{\ln x}}$ ．
计算二重积分 $\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $x=\sqrt{1+y^{2}}$ 与直线 $x+\sqrt{2} y=0$ 及 $x-\sqrt{2} y=0$围成。
（ I ）比较 $\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t$ 与 $\displaystyle\int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由； （II）记 $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 。
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内存在二阶导数，且
$$
2 f(0)=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=f(2)+f(3)
$$
（I）证明存在 $\eta \in(0,2)$ ，使 $f(\eta)=f(0)$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,3)$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ．已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 存在两个不同的解． （I）求 $\lambda, a$ ； （II）求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$ ，正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，若 $\boldsymbol{Q}$ 的第 1 列为 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $a, Q$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}}, \quad-\infty\lt x\lt+\infty, \quad-\infty\lt y\lt+\infty,
$$
求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ．
箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 $1,2,3$ 个。现从箱中随机地取出 2 个球，记 $X$ 为取出的红球个数，$Y$ 为取出的白球个数。 （I）求随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布； （II）求 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ 。