已知方程 $x^{5}-5 x+k=0$ 有 3 个不同的实根，则 $k$ 的取值范围是（）
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $a 、 b 、 c$ 依次为（）
若 $\displaystyle\sum_{n=1} n u_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle\sum_{n=1} \displaystyle\frac{v_{n}}{n}$ 条件收敛，则（ ）
设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=(\quad)$
（8）设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{E}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ，则二次型 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的规范形为
设 $A, B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是（ ） $(\mathrm{A}) P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ ． $(\mathrm{B}) P(A B)=P(A) P(B)$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $P\{|X-Y|\lt 1\}$（）
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left[1 \displaystyle\frac{1}{2}+2 \displaystyle\frac{1}{2}+\cdots+{ }_{n(n+1)}^{1}\right]^{n}=$
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\lt x\lt\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{4}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=$
以 $P_{\mathrm{A}} 、 P_{\mathrm{B}}$ 分别表示 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两个商品的价格，设商品 A 的需求函数 $Q_{\mathrm{A}}=500-P_{\mathrm{A}}^{2}-P_{\mathrm{A}} P_{\mathrm{B}}+2 P_{\mathrm{B}}^{2}$ ，则当 $P_{\mathrm{A}}=10, P_{\mathrm{B}}=20$ 时，商品 A 的需求量对自身价格的弹性 $\eta_{\mathrm{AA}}\left(\eta_{\mathrm{AA}}\gt 0\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^{2}-1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ ，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{a}=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{x}{2}, & 0\lt x\lt 2, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 为 $X$ 的分布函数，$E(X)$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)\gt E(X)-1\}=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2 x}, & x\gt 0, \\ x \mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值．
设函数 $f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，函数 $g(x, y)=x y-f(x+y, x-y)$ ．求 $\displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+ \displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$.
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}-x y=\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$ 的特解． （I）求 $y(x)$ ； （II）设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ ，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
设 $a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ． （I）证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $a_{n}=\begin{gathered}n-1 \\ n+2\end{gathered} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$ ； （II）求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ ．
（本题满分 11 分） 已知向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ a^2+3\end{array}\right)$ 与 II： $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ a+3\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1-a\end{array}\right)$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ a^2+3\end{array}\right)$ ．若向量组 I 与 II 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_3$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似． （I）求 $x, y$ ； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\}=p$ ， $P\{Y=1\}=1-p(0\lt p\lt 1)$ 。令 $Z=X Y$ 。 （I）求 $Z$ 的概率密度； （II）$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关； （III）$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f\left(x ; \sigma^{2}\right)= \begin{cases}\frac{A}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x\lt\mu,\end{cases}
$$
其中 $\mu$ 是已知参数，$\sigma\gt 0$ 是未知参数，$A$ 是常数．$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本。
（I）求 $A$ ；
（II）求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量．