当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是 ）．
$f(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为 ．
$\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$ ．
设 $f(x)=x^{2} \ln (1-x)$ ，当 $n \geqslant 3$ 时，$f^{(n)}(0)=($ ．
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y, & x y \neq 0, \\ x, & y=0, \\ y, & x=0,\end{array}\right.$ 给出如下结论 （1）$\left.\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$ ； （2）$\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ； （3） $\displaystyle\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ ； （4） $\operatorname{limlim}_{y \rightarrow 0} f(x, y)=0$ ． 其中正确的个数是 ．
设函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)\gt f(x)\gt 0$ ，则（ ）．
设4阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}$ 不可逆，$a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的通解为（ ）。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 为（ ）。
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^{2}+1}, \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^{2}+1}\right)\end{array}\right.$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=$ $\_\_\_\_$。
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle\int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$ $\_\_\_\_$。
斜边长为 $2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉人水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 $g$ ，水密度为 $\rho$ ，则该平板一侧所受的水压力为 $\_\_\_\_$。
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$
已知函数 $f(x)$ 连续且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $g^{\prime}(x)$ ，并证明 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$处连续．
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 且满足 $2 f(x)+x^{2} f\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\frac{x^{2}+2 x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $f(x)$ ，并求曲线 $y=f(x), y=\displaystyle\frac{1}{2}, y=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ 及 $y$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
平面区域 $D$ 由直线 $x=1, x=2, y=x$ 与 $x$ 轴围成，计算 $\iint_{D} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ ． （ I ）证明：存在 $\xi \in(1,2)$ ，使得 $f(\xi)=(2-\xi) \mathrm{e}^{\xi^{2}}$ ； （II）证明：存在 $\eta \in(1,2)$ ，使得 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta \mathrm{e}^{\eta^{2}}$ ．
设曲线 $y=f(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)\gt 0$ ，曲线 $y=f(x)(x \geqslant 0)$ 经过坐标原点 $O$ ，其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $T$ ，又 $M P$ 垂直 $x$ 轴于点 $P$ ，已知由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $M P$以及 $x$ 轴所围图形的面积与 $\triangle M T P$ 的面积之比恒为 $3: 2$ ，求满足上述条件的曲线方程．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经可逆线性变换 $x=P y$ 化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{2}$ 。 （I）求 $a$ 的值； （II）求可逆矩阵 $P$ 。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha})$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． （I）证明： $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵； （II）若 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-6 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ，并判断 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵．