向量在基下的坐标

### 第100题 设 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 为非零向量，且 $\displaystyle |\boldsymbol{b}|=1,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\boldsymbol{a}+x \boldsymbol{b}|-|\boldsymbol{a}|}{\mathrm{e}^{x}-1}=$ （A） 0 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

### 第101题 设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0, \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则 $L$ （A）平行于 $\Pi$ ． （B）在 $\Pi$ 上． （C）垂直于 $\Pi$ ． （D）与 $\Pi$ 斜交．

### 第127题 设 $p(x), q(x), f(x)$ 均是已知的连续函数，$y_{1}(x), y_{2}(x), y_{3}(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+ q(x) y=f(x)$ 的 3 个线性无关的解，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 为任意常数，则方程的通解为 （A）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}+C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{2}\right) y_{3}$. （B）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$ ． （C） $2 C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ． （D）$C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1+C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．

### 第158题 设曲面 $S: z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ ，有一点光源位于点 $P_{0}(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$ ． （1）求曲面 $S$ 上受光部分与背光部分的分界线方程（设曲面 $S$ 不透光）； （2）求上述分界线上 $z$ 坐标的最大值． 衦估

### 第190题 设 $n(n>2)$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+3 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\beta}$ 是任意 $n$ 维向量，若 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

### 第192题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ . 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第193题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ . 管题 区或

### 第205题 已知三维空间的两组基 $$ $\begin{aligned}$ & \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \\ & \boldsymbol{\beta}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}, \end{aligned} $$ 在这两组基下坐标相同的向量 $\boldsymbol{\gamma}=$ $\_\_\_\_$ ． ## 选择题

### 第218题 （2010，数农）设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示，下列命题中正确的是 （A）若向量组 I 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （B）若向量组 I 线性相关，则 $r>s$ ． （C）若向量组 II 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （D）若向量组 II 线性相关，则 $r>s$ ． 建衩谷题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第219题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维非零向量，则下列命题中正确的是 （A）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性相关． （B）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性无关． （C）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性相关． （D）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性无关． ## 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第235题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一组基，则 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 （A）$(-1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(0,1,0)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． ## 解答题

### 第31题 三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 上的高为 $\_\_\_\_$ ．其中 $A(1,0,2), B(3,-1,5), C(2,1,3)$ ．

### 第32题 在 $x O y$ 平面内，过原点且与直线 $\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-5}{1}$ 垂直的直线方程为建议谷题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

### 第33题 直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ 在平面 $\Pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $L_{0}$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程为 $\_\_\_\_$。

### 第37题 曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $2 x+4 y-z=0$ 平行的切平面方程是 $\_\_\_\_$ ．

### 第47题 \Sigma$ 是几何体 $V=\{(x, y, z)| | x|\leqslant 1,|y| \leqslant 2,|z| \leqslant 3\}$ 边界曲面的外侧，则 $I= \oiint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．$