多元函数的极值及最大值、最小值

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．函数 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{x}+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第165题 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对．

## 第165题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对．

### 【基础篇】第18题（解答题） 18．设 $0 \leqslant x \leqslant 1, p>1$ ，证明 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1$ ．

### 第252题 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）e． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．

### 第255题 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $$ x y z \leqslant b $$ 则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．

## 第255题 (高等数学 - 选择题) 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $$ x y z \leqslant b $$ 则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．

### 【强化篇】第30题（解答题） 30．求函数 $u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 在约束条件 $x+2 y=1$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 下的最值．

### 【基础篇】第4题（填空题） 4．已知 $\displaystyle x^{2}+a x^{-3} \geqslant \frac{10}{3}(x>0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

## 第45题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． □

### 第46题 函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于 $\_\_\_\_$。

## 第46题 (高等数学 - 填空题) 函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于 $\_\_\_\_$。