梯度

### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设 $f(x, y, z)=x^{2} \mathrm{e}^{z^{2}}$ ，则 $f(x, y, z)$ 在点 $(-1,0,1)$ 处的方向导数的最小值为 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=2+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=i+2 j$ 的方向导数最大，最大值为 10 ．求 $a, b$ ．

### 【强化篇】第11题（填空题） 11．函数 $u(x, y, z)=x y-2 z^{2}$ 在点 $(1,1,-2)$ 处的最大方向导数为 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设 $g(x, y)$ 是函数 $f(x, y)=x+2 y+x y$ 在点 $(x, y)$ 处的最大方向导数． （1）求 $g(x, y)$ 的表达式； （2）求 $g(x, y)$ 在曲线 $C: x^{2}+y^{2}=5$ 上的最大值．

### 【强化篇】第24题（填空题） 24．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $p=$ 2．$q=0$ ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 在点 $(0,1,1)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。

## 第617题 (高等数学 - 选择题) 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。

### 第655题 函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为 （A）$\sqrt{107}$ ． （B）$\sqrt{117}$ ． （C） 117 ． （D） 107 ．

## 第655题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为 （A）$\sqrt{107}$ ． （B）$\sqrt{117}$ ． （C） 117 ． （D） 107 ．

### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设可微函数 $f(u, v)$ 满足 $f\left(x-y, x+\mathrm{e}^{y}\right)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $f(u, v)$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数的最大值等于 ． （A） 1 （B）$\sqrt{2}$ （C）$\sqrt{3}$ （D） 2

### 【基础篇】第9题（填空题） 9．函数 $f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}$ 在点 $(0,1)$ 的最大方向导数为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第9题（填空题） 9．$f(x, y, z)=x^{2} \int_{1}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+2 z$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度为 $\_\_\_\_$ ．