原函数与不定积分的概念

### 第43题 已知 $f^{\prime}(x) \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第45题 若函数 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0$ ，其中 $a=2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x, f(0)=\alpha, f^{\prime}(0)=\beta$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ 建议荅题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第47题 设 $y=f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的正值函数，且对于任意的 $a>0, x=0, x=a$ ， $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周与绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积相同，则 $y=f(x)$ 与 $y=x^{3}$ 所围成的图形面积为 $\_\_\_\_$ ．

### 第48题 已知曲线 $y=x \mathrm{e}^{x}$ ，直线 $x=a(a>0)$ 与 $x$ 轴所围平面图形的面积为 1 ，则由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$ ． 建放答题时日

### 第49题 曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ． □ 纠陽箇记

### 第50题 有一容器，其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x \geqslant 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成，容器底部 （原点处）开有一小孔，设小孔的面积为 $S$（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）．已知液体从容器底部流出的速率 $v= k \sqrt{2 g h}$（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），其中 $g$ 为重力加速度（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$ ），$h$ 为小孔上方的液面高度（单位： m ），$k$为大于 0 的常数．若液面高度以 $l \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速率匀速下降，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。 建设容题时间

### 第56题 函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第57题 函数 $z=x^{2}+y^{2}-x y$ 在区域 $|x|+|y| \leqslant 1$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$ ．设 $z(x, y)=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t \int_{t}^{x} f(t+y) g(y u) \mathrm{d} u$ ，其中 $f$ 连续，$g$ 有连续的一阶导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ 建议答题时问

### 第60题 设 $f(x, y)$ 可微，且满足条件 $\displaystyle \frac{f_{y}^{\prime}(0, y)}{f(0, y)}=\cot y, \frac{\partial f}{\partial x}=-f(x, y), f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=1$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ． 建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第66题 $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{|x|}^{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{3}+1\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第70题 70设函数 $f(x, y)$ 连续，交换累次积分 $I=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序为建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第72题 x y^{\prime}=y($\ln y-\ln x)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$ 建设荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 铼估$

### 第81题 设定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 与 $x=1$ 均对称，则下列命题中，正确命题为 （1）若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （2）若 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （3） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （4） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （A）（2）（3）． （B）（2）（4）． （C）（1）（2）（3）． （D）（1）（2）（4）．

### 第92题 设 $\displaystyle x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+4 t^{2}}}$ ，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-4 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}$ 等于 （A）0． （B） 1 ． （C）$\displaystyle \frac{4}{1+4 y^{2}}-4 \sqrt{1+4 y^{2}}$ ． （D）-1 ． 建议答题时问