原函数与不定积分的概念

第 165 题

### 第165题 方程 $y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=y^{2} \ln y(y>0)$ ，满足 $\left.y\right|_{x=0}=\mathrm{e},\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\mathrm{e}$ 的解为 （A） $\mathrm{e}^{x+1}$ ． （B）$e^{e^{x}}$ ． （C） $\mathrm{e}^{x}$ ． （D） $2 \mathrm{e}^{x}$ ．

第 166 题

### 第166题 微分方程 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=4 x$ 的通解为 （A）$y=x+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． （B）$y=x^{3}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． （C）$y=x^{4}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． （D）$y=x^{2}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

第 182 题

### 第182题 设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=1, f(1)=a$ ． （1）求使得 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得最大值的 $f(x)$ 的表达式． （2）将 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得的最大值记为 $g(a)$ ，当 $a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值．公众号：旗胜考研

第 185 题

### 第185题 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶连续可导，且对任意的 $x$ 与 $h$ 满足 $\displaystyle f(x+h)- f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$ ． 求证：$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ，其中 $a, b, c$ 为常数．

第 190 题

### 第190题 设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．

第 194 题

### 第194题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可导，$f(0)=f(1)=0$ ，且 $f(x) \neq 0, x \in(0,1)$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x>4$ ．

第 195 题

### 第195题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续导数，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ．若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x= 0, \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：至少存在两个不同的点 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ ，使得 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)=0$ ．

第 198 题

### 第198题 198计算 $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{4} \arctan x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ．

第 200 题

### 第200题 求函数 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}(2-t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t$ 的最大值与最小值．

第 210 题

### 第210题 设 $u=f(x, y, z)$ ，其中 $z=\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, f$ 有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

第 225 题

### 第225题 设当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x)$ 有一阶连续导数，并且满足 $$ f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t . $$ 求当 $x \geqslant 0$ 时的 $f(x)$ ． ## 建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

第 229 题

### 第229题 设 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=4 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ ，且 $f(0)=g(0)=0$ ，求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．

第 23 题

### 第23题 已知 $f(x)=x^{3} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

第 32 题

### 第32题 $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1-x^{2}\right)}{2 x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建议器题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

第 33 题

### 第33题 已知 $y^{\prime}(x)=\cos (1-x)^{2}$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 建议答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

第 35 题

### 第35题 $\displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2} x \sin ^{4} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建衩谷题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

第 37 题

### 第37题 设 $x=2 \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-s^{2}} \mathrm{~d} s, y=\int_{0}^{t} \sin (t-s)^{2} \mathrm{~d} s$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\sqrt{\pi}}=$ $\_\_\_\_$ ． 建㓪答题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 体佔 s내错 区域 （b）纵错

第 40 题

### 第40题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

第 41 题

### 第41题 I=$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\left(1+x^{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

第 42 题

### 第42题 $$ $\int_{0}^{2 \pi}\left|\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right| \mathrm{d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． ##