向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第319题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{array}\right]$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $a$ ，并求 $\boldsymbol{A}^{n}$ ． 建衤荅䎠时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 神佔

### 第321题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ t-1 & -1 & t\end{array}\right]$ 有二重特征值． （1）求 $t$ 的值． （2） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵？若能，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵． ## 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第322题 设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为3维列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+t \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1} +2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，问矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵，为什么？ 建议答题时问

### 第323题 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-2,3)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & a & -2 \\ -3 & b & 5\end{array}\right]$ 的一个特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化？若能，则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，若不能，则讲清理由．

### 第324题 设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,-2,0$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $1,-2$ 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 。 （1）求 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 0 的特征向量． （2）求二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ ． （3）如二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，求 $k$ ．

### 第325题 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$ 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换． （3）若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 是正定矩阵，求 $k$ ．

### 第326题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ． （2）如 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=25$ ，求 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|$ 的值． （3）证明 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是正定矩阵．

### 第327题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+(a+3) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}$ ．求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

### 第328题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ ，化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+t y_{3}^{2}-2 y_{1} y_{2}$ ，求 $t$ 的值，并求正交变换矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 。 建议器题时问

### 第329题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol{x}= \boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+5 y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{2}-8 y_{2} y_{3}$ ，求变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。