向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第289题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列命题中错误的是 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解． （B）存在 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 而 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． （C）$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=0$ ． （D）$\left|\boldsymbol{A A}^{\mathrm{T}}\right|=0$ ． 建设荅题时门 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$ 管题 区域

### 第291题 设 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{4}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\dot{\boldsymbol{\eta}}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}-\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}$ ． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$ ． （D） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}-\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$.

### 第294题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为公众号：旗胜考研 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 建衹答题时问

### 第295题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n \times m$ 矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=n$ ，则下列命题中正确的是 （A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必为可逆矩阵． （B） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必为可逆矩阵． （C） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必与单位矩阵相似． （D） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必与单位矩阵相似．

### 第296题 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $0,1,-1$ ，则下列命题中不正确的是 （A）矩阵 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 是不可逆矩阵。 （B）矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 和对角矩阵相似． （C）矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于 1 与 -1 的特征向量相互正交． （D）方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系由一个向量构成。

### 第297题 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ． 建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第299题 设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 是单位向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}+3 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 5 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ．

### 第301题 已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}$ 和 $\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}$ ，则二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ （A）相似且合同． （B）相似但不合同． （C）合同但不相似． （D）不合同也不相似． ## 揵议答题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第304题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值． （B） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的秩． （C） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征向量． （D） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的行列式．

### 第307题 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足条件 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆． （2）求秩 $r(\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}+2 \boldsymbol{E})$ ． （3）如果 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。

### 第308题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & a & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 等价，求 $a$ 的值并求一个满足要求 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $Q$ 使 $\boldsymbol{P A Q}=\boldsymbol{B}$ ．

### 第309题 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10$ ， $b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？如能，写出表达式． （3）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的一个极大线性无关组． （1）求 $a$ 的值． （2）求满足 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ 的所有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ． 建议答题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第311题 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,0,-8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(9,6,-25)^{\mathrm{T}}$ ， （II）： $\boldsymbol{\beta}_{1}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(a, 2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(b, 1,0)^{\mathrm{T}}$ ， 若 $r$（I）$=r$（II）且 $\beta_{2}$ 可由（I ）线性表出，求 $a, b$ 的值，并判断向量组（I）（II）是否等价． 建议荅题时问

### 第314题 （2017，数农）设向量 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,2)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & b\end{array}\right]$ 的特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）求方程组 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解． 建设答题时同

### 第317题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，证明 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

### 第318题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性无关的三维列向量，且满足 $$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3} .$ $$ （1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值． （2）判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化，说明理由．公众号：旗胜考研 （3）求秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right)$ 。