向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第238题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 2 & a & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ． 这种合遺材 10 体位 红韹䅡 車練己

### 第240题 $240(2002,4)$ 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, 0, b)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0, a, c)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(c, b, 0)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a$ ， $b, c$ 必满足 $\_\_\_\_$ ． ## ##

### 第244题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ． 建使答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第245题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_{1}=1$ 和 $\lambda_{2}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 2 个特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,4,5)^{\mathrm{T}}$ ．若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$。 $\_\_\_\_$ ． 建䄩荅题时门 评传 嬑练 远可以 □ 有点难 □ □纠错 탤일

### 第247题 若线性方程组 $A_{3 \times 3} x=b$ ，即 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=b_{1}, \tag{I}\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}=b_{2}, \\ a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33} x_{3}=b_{3}, $\end{array}\right.$ $$ 有唯一解 $\boldsymbol{\xi}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}$ ． 方程组 $\boldsymbol{B}_{3 \times 4} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}$ ，即 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}+a_{13} y_{3}+a_{14} y_{4}=b_{1}, \tag{II}\\ a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2}+a_{23} y_{3}+a_{24} y_{4}=b_{2}, \\ a_{31} y_{1}+a_{32} y_{2}+a_{33} y_{3}+a_{34} y_{4}=b_{3}, $\end{array}\right.$ $$ 有特解 $\boldsymbol{\eta}=(-2,1,4,2)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组（II）的通解是 $\_\_\_\_$ ．

### 第251题 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性无关的三维列向量，且 $$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3},$ $$ 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值是 $\_\_\_\_$ ．

### 第252题 $252(1999,4)$ 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第253题 \boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三个线性无关的三维列向量，其中 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解 $\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ $\_\_\_\_$ ． 䞠被答填时口$

### 第254题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{E}$ ，若秩 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$ ，则和 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是 $\_\_\_\_$ ． ## 建秘谷岐时风 ## 评结 香静区域 纠错 영sic

### 第257题 已知三元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ． 建议答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$锈估

### 第261题 若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 为正定的，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & t\end{array}\right]$ ，则 $t$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ． 達似荅境时风 ## （18）置賭頁区域 ## 辞佔 ## 趣练 还可以 □不会

### 第262题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & a+1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ． □ 建衩莫要新日评後 ## 甕练
$\_\_\_\_$
还可以 □ □不会 委検書 ＂百掌で

### 第273题 （2016，数农）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 4 ． （B） 3 ． （C） 2 ． （D） 1 ．

### 第274题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是 3 阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件． （B）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件． （C）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分条件． （D）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．

### 第275题 $275(2003,3)$ 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则必有 （A）$a=b$ 或 $a+2 b=0$ ． （B）$a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ． （C）$a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ． （D）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ． 管題 区1或 ## （ ）纵語算

### 第276题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$ ，其中 $a$ 为任意常数，则 （A）$r(\boldsymbol{A})=1$ ． （B）$r(\boldsymbol{A})=2$ ． （C）$r(\boldsymbol{A})=3$ ． （D）$r(\boldsymbol{A})$ 与 $a$ 有关．

### 第277题 $277(1993,1)$ 已知 $\boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{P}$ 为三阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$t=6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ． （B）$t=6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ． （C）$t \neq 6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ． （D）$t \neq 6$ 时 $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ． 建被答题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$ 神佔 （b）sulu蔡 纠镜 算送

### 第279题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关． （B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关． （C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关。 （D） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．

### 第281题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维非零向量，则下列命题中正确的是 （A）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性相关． （B）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性无关． （C）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性相关． （D）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性无关． 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 钵佔 熟练 （1）纽鉷宅

### 第283题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关， $\boldsymbol{A}$ 经过初等行变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}\right]$ ，则 （A） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示。 （B） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，但表示法不唯一。 （C） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，且表示法唯一。 （D） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示不能确定。