相似矩阵的性质（相同的特征值、迹、行列式）

### 第1题 1．四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ （A）-18 ． （B）-9 ． （C）-6 ． （D）-3 ．

### 第1题 1．设 $|\boldsymbol{A}|$ 是四阶行列式，且 $|\boldsymbol{A}|=-2$ ，则 $|2| \boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}|=$ （A） $2^{5}$ ． （B）$-2^{5}$ ． （C） $2^{9}$ ． （D）$-2^{9}$ ．

### 第10题 10．设 2 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 1,2 ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第276题 276 （2017，数农）$\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $277\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $278\left(1988\right.$, 数三）$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $279\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $280(2012$, 局部 $)\left|\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第292题 292 已知 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{3}=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{3}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第319题 319 已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cl}a x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ x_{1}+(a+2) x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =0\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第341题 341 （2016，数农）多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中，$x^{4}$ 与 $x^{3}$ 的系数依次为 （A）$-1,-1$ ． （B） $1,-1$ ． （C）$-1,1$ ． （D） 1,1 ．

### 第342题 342 已知行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ ，则第一行元素的代数余子式之和为 （A） 96 ． （B） 48 ． （C） 24 ． （D） 0 ．

### 第343题 343 下列行列式中，行列式的值不等于 24 的是 （A）$\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right|$ ． （B）$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$ ． （C）$\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ ． （D）$\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{array}\right|$ ．

### 第345题 345 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，则下列行列式中等于 $|\boldsymbol{A}|$ 的是 （A）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$ ． （B）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$. （C）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$ ． （D）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$.

### 第347题 347 （1990，数五）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 （A）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ ． （B）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|$ ． （C）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n}$ ． （D）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ ．

### 第349题 349 （2017，数农）已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ （A） 0 ． （B） 2 ． （C） 4 ． （D） 8 ．

### 第355题 $355 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ ． （B）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． （C）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ． （D）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．

### 第356题 356 （2018，数农）矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为 （A）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & -a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & -a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$ ．

### 第357题 357 已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （C） 1 ． （D） 2 ．

### 第528题 528 设相互独立的两随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $E(\lambda)$ 和 $E(\lambda+2)$ 分布 $(\lambda>0)$ ，则 $P\{\min (X, Y)>1\}$ 的值为 （A） $\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$ （B） $1-\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$ ． （C） $\mathrm{e}^{-2(\lambda+1)}$ （D） $1-\mathrm{e}^{-2(\lambda+1)}$ ．

### 第540题 540 设二维随机变量 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 的相关系数为 $\rho$ ，记 $\sigma_{i j}=\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)(i, j= 1,2)$ ，则行列式 $$ $\left|\begin{array}{ll}$ \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} $\end{array}\right|=0$ $$ 的充分必要条件是 （A）$\rho=0$. （B）$\displaystyle |\rho|=\frac{1}{3}$ ． （C）$\displaystyle |\rho|=\frac{1}{2}$ ． （D）$|\rho|=1$ ．

### 第7题 7．行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$ ．

### 第8题 8．设 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵， $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．