📝 华东师范大学 2016年数学分析真题

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．

3．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$f(x)$ 以 $y=c x+d$ 为渐近线，则 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

4．如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。

5．如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上无第二类间断点．

6．如果函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 的任意子区间上可积，且 $\forall \varepsilon>0, B>0$ ，都存在 $A(\geqslant a)$ ，使得 $\left|\int_{A}^{A+B} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon$ ，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

7． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}$ ．

8． $\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

9.

$$
\iint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\Sigma$ 为 $z=e^{y}, y \in[0, a]$ 绕 $z$ 轴旋转一周形成的曲面，方向取下侧。

10．求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3 n+1}$ 的和．

11．设 $f(r)$ 为 $(0,+\infty)$ 上的二阶连续可导函数，$f(1)=f^{\prime}(1)=1, u(x, y)=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足 Laplace 条件

$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$

试确定 $f(r)$ 所满足的微分方程，并求出 $f(r)$ 的解析式。

12．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$\forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ．证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．

13．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义，当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，又 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上存在且一致连续，试证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

14．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, f(a) \leqslant 0, f(b) \leqslant 0$ ．证明：

$$
f(x) \geqslant \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t, \quad \forall x \in[a, b]
$$

15．设函数 $f(x)$ 在 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ 上连续，$S=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}\right\}$ ，证明：

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega(t)} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S
$$

16．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，试证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)
$$

17．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的正数列，证明：函数项级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} \sin n x$ 在 $[0, \pi]$ 上一致收敛的充要条件为 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．