📝 山西师范大学 2026年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{2-n}$ ．

2． $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \sin x d x$ ．

3、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．

4、求 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(-\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{x \sin y}$

5、 $f(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{-x y} d y$ ，求 $f(x)$ ．

七、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle x=0$ 处可导，且满足

$$
f(x)=2025 x^{2024}+4 x^{3} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}+x \int_{0}^{1} f(x) d x
$$

求 $\displaystyle f(x)$ 表达式．

三、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．

九、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x+\alpha} e^{-\alpha x} d x$ 对 $\displaystyle \alpha \in[0, b](b>0)$ 一致收敛．

二、（15 分）计算曲面积分

$$
I=\iint_{s^{+}}(x+y-z) d y d z+[2 y+\sin (z+x)] d z d x+\left(3 z+e^{x+y}\right) d x d y
$$

$\displaystyle S^{+}$为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 外表面．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f\left(\frac{a-b)}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3}
$$

八、 $\displaystyle \left(10\right.$ 分 ）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 . & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 的连续性和可微性．

六、（10 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递增，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明：

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0
$$

四、（15 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界数列，记

$$
\bar{a}_{n}=\sup \left\{a_{n}, a_{n+1} \cdots\right\}, \underline{a_{n}}=\inf \left\{a_{n}, a_{n+1} \cdots\right\} .
$$

证明：$\displaystyle \left\{\overline{a_{n}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\underline{a_{n}}\right\}$ 都收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \bar{a}_{n} \geq \lim _{n \rightarrow \infty} \underline{a_{n}}$ ．