📝 广西民族大学 2021年数学分析真题

1．设 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0$ 。求 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s$ 。

2．求二重积分 $\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid \pi^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \pi^{2}\right\}$ 。

3．已知 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。

4．已知： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+a x+b}{1-x}=3$ ，求常数 $a, b$ 。

5．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t d t$ 。

6．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+\left(\frac{a^{2}}{4}\right)^{n}} \quad(a>0)$ 。

1．证明： $\lim _{\alpha \rightarrow 0} \int_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+\alpha^{2}+|\sin \alpha x|} d x=1$ 。

2．设 $f_{1}(x)$ 在 $[a, b]$ 黎曼可积，$f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t$ 。证明：$f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛于 0 。

3．若 $f(x)$ 在有限开区间 $(a, b)$ 连续。证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续的充要条件为 $f(a+0), f(b-0)$均存在。

4．证明积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} d x$ 当 $p>0$ 时收敛。

5．证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 收敛但不一致收敛。

1．令 $P(x, y)=2 x \cos y-y^{2} \sin x, Q(x, y)=2 y \cos x-x^{2} \sin y$ 。
（1）证明：积分 $\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关；
（2）设 $L$ 为从 $(0,0)$ 沿某抛物线到 $(1,1)$ 的一段，求 $\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ 。

2．讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0, \quad(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 的连续性和可微性。