📝 湖南师范大学 2026年高等代数真题

1．两个 $n$ 阶正定矩阵的和是否正定？为什么？

2．若多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，那么 $f\left(x^{2}\right)$ 与 $g\left(x^{2}\right)$ 是否互素？为什么？

3．若 3 阶非零方阵的所有二阶余子式均等于 0 ，那么其秩是多少？为什么？

4．正交矩阵的复特征值一定是 -1 或 1 吗？为什么？

5．若 $f^{\prime}(x)$ 有 2 重根 $a$ ，那么 $a$ 是多项式 $f(x)$ 的 3 重根吗？为什么？

6．计算如下 $n$ 阶行列式的值

$$
D_{n}=\left|\left(\begin{array}{ccccccc}
3 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3
\end{array}\right)\right|
$$

7．记与矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ 乘法可交换的所有实矩阵构成的集合为 $C(A)$ ，证明：$C(A)$ 是矩阵空间 $\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 的线性子空间，并计算出一个基底．

8．设 $V$ 是实线性空间，$v_{1}, v_{2}$ 是 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\mathscr{T}$ 满足

$$
\mathscr{T}\left(v_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \mathscr{T}\left(v_{2}\right)=-2 v_{1}+4 v_{2} .
$$

计算 $\mathscr{T}^{2026}\left(v_{1}\right)$ 在基 $v_{1}, v_{2}$ 下的坐标．

9．设 $n$ 为正整数，且有理数域上二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 n x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}
$$

有三个不小于 -4 的整数特征值，确定 $n$ 的取值并计算此二次型在有理数域上的标准形．

10．证明：多项式 $x^{7}+7 x+1$ 在有理数域上不可约．

11．设 $n \geq 2, \mathscr{T}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且向量 $v$ 满足 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0, \mathscr{T}^{n} v=0$ ．
（1）证明：向量组 $v, \mathscr{T} v, \cdots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 线性无关．
（2）证明： $\mathscr{T}$ 不可以对角化．

12．设 $A$ 为 2026 阶非零实矩阵，且 $A$ 的伴随矩阵与其转置矩阵相等，证明：$A$ 是行列式为 1 的正交矩阵。

13．设实方阵 $A$ 满足 $A^{4}=-A^{2}$ ，证明：$A$ 的迹等于 0 ．