📝 重庆市统考 2026年高等代数真题
第0题
1．求多项式 $f(x)=4 x^{4}-2 x^{3}-16 x^{2}+5 x+9$ 与 $g(x)=2 x^{3}-x^{2}-5 x+4$ 的公共根．
第0题
2．计算行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
1+a b & 1+a b^{2} & \ldots & 1+a b^{n} \\
1+a^{2} b & 1+a^{2} b^{2} & \ldots & 1+a^{2} b^{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1+a^{n} b & 1+a^{n} b^{2} & \ldots & 1+a^{n} b^{n}
\end{array}\right|
$$
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
1+a b & 1+a b^{2} & \ldots & 1+a b^{n} \\
1+a^{2} b & 1+a^{2} b^{2} & \ldots & 1+a^{2} b^{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1+a^{n} b & 1+a^{n} b^{2} & \ldots & 1+a^{n} b^{n}
\end{array}\right|
$$
第0题
3．已知实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}(a>0)
$$
在正交变换下可化为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+c y_{3}^{2}$ ．
（1）写出二次型对应的实对称矩阵 $A$ ，给出 $c$ 的值．
（2）求矩阵 $A-E$ 的秩，并求 $a, b$ ．
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}(a>0)
$$
在正交变换下可化为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+c y_{3}^{2}$ ．
（1）写出二次型对应的实对称矩阵 $A$ ，给出 $c$ 的值．
（2）求矩阵 $A-E$ 的秩，并求 $a, b$ ．
第0题
4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。
第0题
5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵
$$
G_{1}=\left(\begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
a & 1
\end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & a
\end{array}\right)
$$
讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。
$$
G_{1}=\left(\begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
a & 1
\end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & a
\end{array}\right)
$$
讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。
第0题
6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\sigma(\xi)$ ．
（2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量．
（3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\sigma(\xi)$ ．
（2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量．
（3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
第0题
7．给定线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
-x_{1}+x_{3}+3 x_{4}+x_{5}=a \\
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+3 x_{5}=3 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}=b
\end{array}\right.
$$
（1）当 $a, b$ 取何值时，方程组有解？
（2）当方程组有解时，求方程组的所有解．
（3）当方程组有解时，求所有解的极大线性无关组．
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
-x_{1}+x_{3}+3 x_{4}+x_{5}=a \\
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+3 x_{5}=3 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}=b
\end{array}\right.
$$
（1）当 $a, b$ 取何值时，方程组有解？
（2）当方程组有解时，求方程组的所有解．
（3）当方程组有解时，求所有解的极大线性无关组．
第0题
8．已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 6 阶矩阵，$f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+3)^{2}(\lambda-4)$ 为 $A$ 的特征多项式，$m(\lambda)= (\lambda-2)^{2}(\lambda+3)(\lambda-4)$ 为 $A$ 的最小多项式．
（1）求 $A$ 的所有不变因子．
（2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形．
（3）写出 $A$ 的有理标准形．
（1）求 $A$ 的所有不变因子．
（2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形．
（3）写出 $A$ 的有理标准形．
第0题
9．设 $m, n, q, r$ 为非负整数，且 $m=n q+r$ ，其中 $0 \leq r<n$ ．
（1）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=\left(x^{n}-1, x^{r}-1\right)$ ．
（2）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ，其中 $d=(m, n)$ 为 $m, n$ 的最大公因数．
（1）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=\left(x^{n}-1, x^{r}-1\right)$ ．
（2）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ，其中 $d=(m, n)$ 为 $m, n$ 的最大公因数．
第0题
10．给定矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 1 & -2 \\
1 & -1 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 5 & -1 & -8
\end{array}\right) .
$$
（1）证明：存在秩为 2 的 4 阶矩阵 $B$ ，满足 $A B=O$ ．
（2）证明：不存在秩为 3 的 4 阶矩阵 $C$ ，使得 $A C=O$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 1 & -2 \\
1 & -1 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 5 & -1 & -8
\end{array}\right) .
$$
（1）证明：存在秩为 2 的 4 阶矩阵 $B$ ，满足 $A B=O$ ．
（2）证明：不存在秩为 3 的 4 阶矩阵 $C$ ，使得 $A C=O$ ．
第0题
11．给定 2 维平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上 3 条不同的直线
$$
L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b .
$$
证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．
$$
L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b .
$$
证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．
第0题
12．已知 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 为线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\varphi$ 在这组基下的矩阵为 $A$ 。证明：
（1）维 $(\operatorname{Ker} \varphi)=n-$ 秩 $(A)$ ．
（2）维 $(\operatorname{Im} \varphi)=$ 秩 $(A)$ 。
（1）维 $(\operatorname{Ker} \varphi)=n-$ 秩 $(A)$ ．
（2）维 $(\operatorname{Im} \varphi)=$ 秩 $(A)$ 。
第0题
13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．
第0题
14．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的标准正交基，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中的一组向量，并满足 $\displaystyle \left|\varepsilon_{i}-\alpha_{i}\right|<\frac{1}{\sqrt{n}}(n=1,2, \cdots, n)$ ，其中 $|\alpha|$ 表示 $\alpha$ 的模长．证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．