📝 长安大学 2026年高等代数真题

1．设 $f(x)$ 是一个实系数三次多项式，满足 $(x+1)^{2}$ 整除 $f(x)+1,(x-1)^{2}$ 整除 $f(x)-1$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．实数域上四元二次型的不同规范形的个数是 $\_\_\_\_$ ．

3．设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $\displaystyle |A|=\frac{1}{2}$ ，则 $\left|(3 A)^{-1}-2 A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 为行列式等于 1 的 3 阶正交矩阵，则 $A$ 必有实特征值 $\_\_\_\_$ ．

5．所有与 $n$ 阶方阵 $A$ 可交换的矩阵集合 $C(A)$ 是 $P^{n \times n}$ 的一个子空间，当对角矩阵

$$
A=\operatorname{diag}\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}
$$

中对角元素 $a_{i}(1 \leq i \leq n)$ 互不相同时，$C(A)$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

6．$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{3}=2 E, B=A^{2}-2 A+2 E$ ，则 $B^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的每一行每一列恰好有一个元素等于 1 ，其余元素均为 0 ，证明：存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=E$ ．

三．（10 分）设 $\displaystyle n \geq 2$ ，计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
\sin \left(2 \alpha_{1}\right) & \sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{n}\right) \\
\sin \left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right) & \sin \left(2 \alpha_{2}\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_{2}+\alpha_{n}\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sin \left(\alpha_{n}+\alpha_{1}\right) & \sin \left(\alpha_{n}+\alpha_{2}\right) & \cdots & \sin \left(2 \alpha_{n}\right)
\end{array}\right| .
$$

九．（15分）求矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-4 & 9 & -4 \\
-9 & 18 & -8 \\
-15 & 29 & -13
\end{array}\right)
$$

的不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形与有理标准形．

二．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $\displaystyle a, b$ ，其中 $\displaystyle a \neq 0$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=f(a x+b)$ 在有理数域上不可约．

五．（15 分）设

$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 3 & 4 \\
2 & 5 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 10 & 11 \\
4 & 8 & 12 & 17
\end{array}\right)-\frac{1}{30^{2025}}\left(\alpha \alpha^{\prime}\right)^{2026}, B=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right) .
$$

（1）求矩阵 $A$ ．
（2）若 $X$ 满足 $\displaystyle X\left(E-B^{-1} A\right)^{\prime} B^{\prime}=E$ ，求矩阵 $X$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值为 1 或 0 ．
（2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ．

六．（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ ．

十．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，秩 $\displaystyle (A+B)=n$ ．证明：$\displaystyle A^{\prime} A+B^{\prime} B$ 为正定矩阵．

四．（15 分）设非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\
\cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s}
\end{array}\right.
$$

的系数矩阵为 $A$ ，向量 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s}\right)^{\prime}$ ．
（1）若方程组有解且秩 $\displaystyle (A)=r$ ，求方程组的解向量中最多线性无关解的数目．
（2）若方程组对任意的 $s$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 都有解，求秩（ $A$ ）．