设函数 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \ln (2+t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
函数 $f(x, y)=\arctan \displaystyle\frac{x}{y}$ 在点 $(0,1)$ 处的梯度等于
在下列微分方程中，以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x$（ $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 为任意常数）为通解的是
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界，$\left\{x_{n}\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
$$
(x, y, z) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=1
$$
在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值的个数为
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则 $($
已知幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x+2)^{n}$ 在 $x=0$ 处收敛，在 $x=-4$ 处发散，则幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-3)^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
设曲面 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为线性无关的 2 维列向量， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\mathbf{0}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为 $\_\_\_\_$。
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$ ．
计算曲线积分 $\displaystyle\int_{L} \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段．
已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $C$ 上距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点．
设 $f(x)$ 是连续函数， （I）利用定义证明函数 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 可导，且 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ； （II）当 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数时，证明 $G(x)=2 \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \displaystyle\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 2 为周期的周期函数．
将函数 $f(x)=1-x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成余弦级数，并求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$ 的和．
设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 分别是 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的转置。证明： （I）秩 $r(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$ ； （II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则秩 $r(\boldsymbol{A})\lt 2$ ．
设 $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^{2} & 2 a & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & a^{2} & 2 a & 1 \\
& & & a^{2} & 2 a
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$
（I）证明行列式 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$ ；
（II）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$ ；
（III）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=i\}=\displaystyle\frac{1}{3}(i=-1,0,1), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y$ ． （I）求 $P\left\{\left.Z \leqslant \displaystyle\frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$ ； （II）求 $Z$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \quad T=\bar{X}^{2}-\frac{1}{n} S^{2} .
$$
（I）证明 $T$ 是 $\mu^{2}$ 的无偏估计量；
（II）当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$ 。
\sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ ，得 $E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}$ ．
再由 $E\left(S^{2}\right)=\sigma^{2}$ ，得 $E(T)=E\left(\bar{X}^{2}\right)-\displaystyle\frac{1}{n} E\left(S^{2}\right)=\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}-\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}=\mu^{2}$ ．
于是 $T=\bar{X}^{2}-\displaystyle\frac{1}{n} S^{2}$ 为 $\mu^{2}$ 的无偏估计量．
（II）当 $\mu=0, \sigma=1$ 时， $\bar{X} \sim N\left(0, \displaystyle\frac{1}{n}\right)$ ，标准化得 $\sqrt{n} \bar{X} \sim N(0,1)$ ，于是 $n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ ．又 $\displaystyle\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=(n-1) S^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ，且 $\bar{X}$ 与 $S^{2}$ 独立，得
$$
\begin{aligned}
D(T) & =D\left(\bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(S^{2}\right)=\frac{1}{n^{2}} D\left(n \bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}(n-1)^{2}} D\left[(n-1) S^{2}\right] \\
& =\frac{2}{n^{2}}+\frac{2(n-1)}{n^{2}(n-1)^{2}}=\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)}
\end{aligned}
$$