已知极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数，且 $c \neq 0$ ，则（ ）
曲面 $x^{2}+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为（ ）
设 $f(x)=\left|x-\displaystyle\frac{1}{2}\right|, b_{n}=2 \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$ 。令 $S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x$ ，则 $S\left(-\displaystyle\frac{9}{4}\right)=$ （ ）
设 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=1, L_{2}: x^{2}+y^{2}=2, L_{3}: x^{2}+2 y^{2}=2, L_{4}: 2 x^{2}+y^{2}=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线． 记 $I_{i}=\oint_{L_{i}}\left(y+\displaystyle\frac{y^{3}}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=()$
设 $\boldsymbol{A}, ~ \boldsymbol{B}, ~ \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 可逆，则（ ）
矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为（ ）
设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是随机变量，且 $X_{1} \sim N(0,1), X_{2} \sim N\left(0,2^{2}\right), X_{3} \sim N\left(5,3^{2}\right), p_{i}=P\left\{-2 \leqslant X_{i} \leqslant 2\right\} (i=1,2,3)$ ，则 $(\quad)$
设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，给定 $\alpha(0\lt\alpha\lt 0.5)$ ，常数 $c$ 满足 $P\{X\gt c\}=\alpha$ ，则 $P\left\{Y\gt c^{2}\right\}=()$
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x=\mathrm{e}^{x(1-y)}$ 确定，则 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)-1\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
已知 $y_{1}=\mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{3}=-x \mathrm{e}^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\displaystyle\frac{\pi}{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\ln x}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵，$|\boldsymbol{A}|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式，$A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式．若 $a_{i j}+A_{i j}=0 (i, j=1,2,3)$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$ ．
根据题目开头信息，这是一道2013年考研数学一的填空题，原题内容完整如下：
设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leqslant a+1 \mid Y\gt a\}=$
计算 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} \displaystyle\frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$a_{0}=3, a_{1}=1, a_{n-2}-n(n-1) a_{n}=0(n \geqslant 2), S(x)$ 是幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数． （I）证明 $S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$ ； （II）求 $S(x)$ 的表达式。
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$ ．证明： （I）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ； （II）存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ ．
设直线 $L$ 过 $A(1,0,0), B(0,1,1)$ 两点，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma, \Sigma$ 与平面 $z=0, z=2$所围成的立体为 $\Omega$ 。 （I）求曲面 $\Sigma$ 的方程； （II）求 $\Omega$ 的形心坐标。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ 。当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ ，并求所有矩阵 $\boldsymbol{C}$ 。
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$ ，记
$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{array}\right) .
$$
（I）证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ；
（II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{9} x^{2}, & 0\lt x\lt 3 \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 令随机变量 $Y= \begin{cases}2, & X \leqslant 1, \\ X, & 1\lt X\lt 2, \\ 1, & X \geqslant 2 .\end{cases}$ （I）求 $Y$ 的分布函数； （II）求概率 $P\{X \leqslant Y\}$ ．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\displaystyle\frac{\theta}{x}}, & x\gt 0, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为未知参数且大于零．$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本． （I）求 $\theta$ 的矩估计量； （II）求 $\theta$ 的最大似然估计量．