若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则（ ） $($ C $) a b=0$.
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x) f^{\prime}(x)\gt 0$ ，则（ ）
若级数 $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\left[\sin \displaystyle\frac{1}{n}-k \ln \left(1-\displaystyle\frac{1}{n}\right)\right]$ 收敛，则 $k=(\quad)$
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则（）
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则（ ）
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充分必要条件是（ ）
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则下列结论中不正确的是（ ）
$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin ^{3} x+\sqrt{\pi^{2}-x^{2}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。
设函数 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，且 $\mathrm{d} f(x, y)=y \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+x(1+y) \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y, f(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为线性无关的3 维列向量组，则向量组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=-2\}=\displaystyle\frac{1}{2}, P\{X=1\}=a, P\{X=3\}=b$ ，若 $E(X)=0$ ，则 $D(X)$ ＝
求 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t}{\sqrt{x^{3}}}$ ．
计算积分 $\iint_{D} \displaystyle\frac{y^{3}}{\left(1+x^{2}+y^{4}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中以曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $x$ 轴为边界的无界区域。
求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{k}{n^{2}} \ln \left(1+\displaystyle\frac{k}{n}\right)$ 。
已知方程 $\displaystyle\frac{1}{\ln (1+x)}-\displaystyle\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 内有实根，确定常数 $k$ 的取值范围．
若 $a_{0}=1, a_{1}=0, a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(n a_{n}+a_{n-1}\right)(n=1,2,3, \cdots), S(x)$ 为幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数． （I）证明 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径不小于 1 。 （II）证明 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $S(x)$ 的表达式。
设3阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 有3个不同的特征值，且 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ． （I）证明 $r(\boldsymbol{A})=2$ ； （II）若 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=P\{X=2\}=\displaystyle\frac{1}{2}, Y$ 的概率密度为 $f(y) =\left\{\begin{array}{cl}2 y, & 0\lt y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ （I）求 $P\{Y \leqslant E(Y)\}$ ； （II）求 $Z=X+Y$ 的概率密度．
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $n$ 次测量，该物体的质量 $\mu$ 是已知的，设 $n$ 次测量结果 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 。该工程师记录的是 $n$ 次测量的绝对误差 $Z_{i}=\left|X_{i}-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)$ ，利用 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 估计 $\sigma$ 。 （I）求 $Z_{1}$ 的概率密度； （II）利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量； （III）求 $\sigma$ 的最大似然估计量．