若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}=1$ ，则 $($
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & x\lt 0, \\ 1, & x \geqslant 0,\end{array} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-a x, & x \leqslant-1, \\ x, & -1\lt x\lt 0 \\ x-b, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.\right.$ ，若 $f(x)+g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，则
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
设 $M=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{-x}^{2-x^{2}}(1-x y) \mathrm{d} y+\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{x}^{2-x^{2}}(1-x y) \mathrm{d} y=$ ）
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(\boldsymbol{X})$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的秩，（ $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ ）表示分块矩阵，则（ ） $(\mathrm{A}) r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$ ． $(\mathrm{B}) r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})$. $(\mathrm{C}) r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=\max \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$.
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\arctan (x+1)-\arctan x]=$ $\_\_\_\_$。
$\displaystyle\int_{5}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{x^{2}-4 x+3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{3} t \\ y=\sin ^{3} t\end{array}\right.$ 在 $t=\displaystyle\frac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为 $\_\_\_\_$ .
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\ln z+\mathrm{e}^{z-1}=x y$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(2, \displaystyle\frac{1}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $A$ 为3阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关的向量组。若 $A\alpha_1=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_2+2\alpha_3$，$A\alpha_3=-\alpha_2+\alpha_3$，则 $A$ 的实特征值为____。
求不定积分 $\displaystyle\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ．
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=a x^{2}$ ． （I）求 $f(x)$ ； （II）若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 1 ，求 $a$ 的值．
设平面区域 $D$ 由曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t\end{array} \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_{D}(x+2 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
已知常数 $k \geqslant \ln 2-1$ ．证明：$(x-1)\left(x-\ln ^{2} x+2 k \ln x-1\right) \geqslant 0$ ．
已知曲线 $L: y=\displaystyle\frac{4}{9} x^{2}(x \geqslant 0)$ ，点 $O(0,0)$ ，点 $A(0,1)$ 。设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$S$ 是直线 $O A$ 与直线 $A P$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积．若 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 4 ，求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率．
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
设实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{1}+a x_{3}\right)^{2}$ ，其中 $a$ 是参数。 （I）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解； （II）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形．
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ． （I）求 $a$ ； （II）求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．