拉格朗日中值定理

### 【强化篇】第28题（解答题） 28．求 $|z|$ 在约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+9 y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+3 y+3 z=5\end{array}\right.$ 下的最大值与最小值．

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0, f(1)=1$ ，且 $f(x)$ 不恒等于 $x$ 。证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)>1$ ．

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的可导函数，$f(0)=f(1)=1, \max _{0 \leqslant r \leqslant 1}\left\{\left|f^{\prime}(x)\right|\right\}=1$ ，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{3}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{5}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{5}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{7}{4}$

### 【强化篇】第31题（解答题） 31．求曲线 $x^{2}-x y+y^{2}=1(x>0, y>0)$ 上的一点 $P$ ，使该点处的切线与 $x$ 轴，$y$ 轴在第一象限所围的图形的面积最小。

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $X_{1}, X_{2}$ 是取自正态总体 $X \sim N(1,1)$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle \frac{X_{1}-1}{\left|1-X_{2}\right|}$ 服从（ ）。 （A）$N(1,1)$ （B）$\chi^{2}(1)$ （C）$t(1)$ （D）$F(1,1)$

## 第47题 (高等数学 - 填空题) 设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $u_{n}=\sqrt{\arctan (n+k)-\arctan n}, k$ 为正常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(\quad)$ 。 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）玫散性与 $k$ 有关

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： （1）对于任意 $x_{0}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ； （2）若存在常数 $M>0$ ，使得任意 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $|f(x)| \leqslant M$ ，则 $f(x)$ 为常值函数。

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$ ，且存在一点 $c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ 。证明：存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)<0$ 。