拉格朗日中值定理

第 1 题

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x)=x(2 x-3)(4 x-5)$ ，则方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根个数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

第 1 题

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}$ 是来白标准正态总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle Y=\frac{X_{1}}{X_{2}}$ 的概粱密度 $f_{Y}(y)=()$ ， （A）$\displaystyle \frac{1}{\pi\left(1+y^{2}\right)}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{\pi(1+y)}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{1+y^{y^{2}}}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$

第 11 题

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上一阶可导且 $f^{\prime}(x) \geqslant M>0, f(2)>0$ ．证明： （1）对任意的 $x \in[3,4]$ ，均有 $f(x)>M$ ； （2）存在 $\xi \in(3,4)$ ，使得 $\displaystyle f(\hat{\xi})>M \cdot \frac{\mathrm{e}^{\xi-3}}{\mathrm{e}-1}$ 。

第 12 题

### 第12题 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

第 12 题

## 第12题 (高等数学 - 填空题) 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

第 12 题

### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $(\alpha, \beta)$ 内二阶可导，且其图像在 $(\alpha, \beta)$ 内有三个点满足关系 $y= a x^{2}+b x+c$ 。证明：必然存在一个点 $\xi \in(\alpha, \beta)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=2 a$ 。

第 15 题

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．已知 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ，方程 $f(x)=x$ 有唯一解 $x=0$ ，又 $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1$ ， $2, \cdots$ ．证明：当 $n \rightarrow \infty$ 时，$x_{n}$ 是 $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{n}{2}}$ 的高阶无穷小． ## 第3章 一元函数微分学的概念

第 157 题

### 第157题 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．

第 157 题

## 第157题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．

第 167 题

### 第167题 以下四个命题中，正确的是 （A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． □

第 167 题

## 第167题 (高等数学 - 选择题) 以下四个命题中，正确的是 （A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． □

第 168 题

### 第168题 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既非充分也非必要条件．

第 168 题

## 第168题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既非充分也非必要条件．

第 20 题

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导（ $a>0$ ），证明：在 $(a, b)$ 内 $$ 2 x[f(b)-f(a)]=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(x) $$ 至少有一个实根．

第 21 题

### 【基础篇】第21题（选择题） 21．设 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0\left(a_{i}\right.$ 为实数，$\left.i=0,1,2, \cdots, n\right)$ ，则在区间 $(0,1)$ 内，方程 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+ a_{n} x^{n}=0($ ）． （A）没有实根 （B）至少有一个实根 （C）仅有一个实根 （D）是否有实根不能判定

第 21 题

### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f(a)=f(b), f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（ ）。 （A）在 $(a, b)$ 内，$f^{\prime}(x) \neq 0$ （B）存在 $\varsigma_{1}, \hat{\varsigma}_{2} \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}\left(\hat{\varsigma}_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ （C）存在唯一的 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ （D）存在 $\xi \in[a, b]$ ，使 $f(\xi)=0$

第 22 题

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a)=f(b)=0, f(c)<0, a0$ ．

第 23 题

### 【基础篇】第23题（填空题） 23．曲线 $y=x^{2}+x$ 在点 $(-1,0)$ 的曲率是 $\_\_\_\_$ ． ## 第6章 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式

第 252 题

## 第252题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）e． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．

第 28 题