概率的统计定义

### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ．记随机变量 $Z=|X-Y|$ 的概率密度为 $f(z)$ ，则（ ）。 （A）$\displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{z^{2}}{2}},-\infty0, \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}$ （D）$\displaystyle f(z)= \begin{cases}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{2}{2}}, & x>0, \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}$

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $X_{0}, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{0}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y=\frac{1}{\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{X_{i}\right\}}$ ，已知 $X$ 的概寀密度为 $$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} $$ （1）求 $Y^{\prime}$ 的分布两数； （2）求 $P\left(\lambda_{0}^{\prime} Y-\lambda_{0}^{\prime}-Y+1<0\right)$ ，

### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设某个试验有三种可能结果，其发生的概率分别为 $p_{1}=\lambda^{2}, p_{2}=(1-\lambda)^{2}, p_{3}=2 \lambda(1-\lambda)$ ，其 中参数 $\lambda$ 末知, $0<\lambda<1$ 。现做了 $n$ 次独立重复试验，观测到三种结果发生的次数分别为 $n_{1}, n_{2}$ ヵ 峸 $\left(n_{1}+n_{2}+n_{3}=n\right)$ 。则 $\lambda$ 的最大似然估计值为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设总体 $X$ 服从 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{\theta}\right]$ 上的均匀分布，$\theta>0$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．求： （1）$\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）$\hat{\theta}$ 的分布函数； （3）$P\{\theta<\theta \leqslant 0+1)$ ，

### 【基础篇】第8题（填空题） 8．从数 $1,2,3,4$ 中有放回地取两次，每次取一个数，得到的两个数为 $X_{1}, X_{2}$ ，记 $X= \min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ，则 $P\{X=2\}=$ $\_\_\_\_$。