概率的统计定义

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim U(-2,4), Y \sim\left(\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right)$ ，则 $P\{X Y>2\}=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立、 $\displaystyle X_{1} \sim\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right), X_{2} \sim N(0,1), Y=2 X_{1} X_{2}-X_{2}$ ，则 $Y$ 的分布函数为（ ）。 （A）］$-\Phi\left(2 y^{\prime}\right)$ （B） $1-\Phi(y)$ （C）$\Phi(2 y)$ （D）$\Phi(y)$

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 且容量都为 $n$ 的两个简单随机样本，样本均值、样本方差分别为 $\bar{X}, S_{X}^{2}$ 和 $\bar{Y}, S_{Y}^{2}$ ，则（ ）。 （A） $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ （B）$S_{X}^{2}+S_{Y}^{2} \sim \chi^{2}(2 n-2)$ （C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}} \sim t(2 n-2)$ （D）$\displaystyle \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F(n-1, n-1)$

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，已知 $\displaystyle Y=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}$ ，对给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，数 $y_{a}$ 满足 $P\left\{Y>y_{a}\right\}=\alpha$ ，则有 () 。 （A）$y_{a} y_{1-a}=1$ （B）$\displaystyle y_{\alpha} y_{1-\frac{\alpha}{2}}=1$ （C）$\displaystyle y_{a} y_{1-a}=\frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle y_{\alpha} y_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}$

### 【基础篇】第20题（选择题） 20．设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\sigma^{2}$ 已知，$\mu$ 未知．现从中随机抽取 $n$ 个零件，测得样本均值为 $\bar{x}$ ，则当置信度为 0.90 时，$\mu$ 大于 $\mu_{0}$ 的接受条件为（ ）． （A） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.10}$ （B） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.05}$ （C） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.10}$ （D） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.05}$

### 【强化篇】第22题（选择题） 22．设总体 $X$ 的末知参数 $\theta$ 有两个相互独立的无偏估计量 $\dot{\theta}_{1}$ 与 $\dot{\theta}_{2}$ ，且 $D\left(\dot{\theta}_{2}\right)=2 D\left(\dot{\theta}_{1}\right)$ ，记 $\dot{\theta}_{1}= a \hat{\theta}_{1}+b \hat{\theta}_{2}$ ，则以下使得 $\theta$ 最有效的是（ ）。 （A）$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{3}$ （B）$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{1}{3}$ （C）$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=\frac{2}{3}$ （D）$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$

### 【基础篇】第23题（填空题） 23．设总体 $X \sim\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ \theta^{2} & 2 \theta(1-\theta) & (1-\theta)^{2}\end{array}\right)$ ，作检验 $H_{0}: \theta=0.1 ; H_{1}: \theta=0.9$ ．抽取 3 个样本，取拒绝域 $W$ 为 $\left\{X_{1}=1, X_{2}=1, X_{3}=1\right\}$ ，则犯第二类错误的概率为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设总体 $X \sim N\left(\mu, 2^{2}\right)$ ，其中 $\mu$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{0}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记关于 $\mu$ 的咀信度为 0.95 的置信区间长度为 $L$ ，则 $L$ 的数学期望 $E(L)=$ ． （A）$\displaystyle \frac{2}{3} x_{0.025}$ （B）$\displaystyle \frac{4}{3} z_{0.025}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{3} z_{0.05}$ （D）$\displaystyle \frac{4}{3} z_{0.05}$

### 【基础篇】第24题（填空题） 24．假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布，已知随机测量的绝对误差不大于 20 米的概率为 0.95 ，则随机测量的标准差 $\sigma=$ $\_\_\_\_$ （保留两位小数）。 强化篇 ## 第6章 数字特征

### 【强化篇】第26题（选择题） 26．关于总体 $X$ 的假设 $H$ 属于简单假设的是 ）． （A）已知 $X$ 服从正态分布，$H: E(X)=0$ （B）已知 $X$ 服从指数分布，$H: E(X) \geqslant 1$ （C）已知 $X$ 服从二项分布，$H: D(X)=5$ （D）已知 $X$ 服从泊松分布，$H: D(X)=3$

### 【强化篇】第27题（选择题） 27．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自均匀分布总体 $U(0, \theta)(\theta>0)$ 的简单随机样本，原假设 $H_{0}: \theta \geqslant 2$ ，备择假设 $H_{1}: \theta<2$ ，拒绝域为 $W=\left\{X_{(n)} \leqslant a\right\}$ ，其中 $a>0, X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$ ，若犯第一类错误的概率的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{3^{n}}$ ，则 $a=$ ． （A）$\displaystyle \frac{4}{3}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{2}$