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概率的统计定义
第 3 题
### 【强化篇】第3题（解答题）
3．假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$G(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的均匀分布函数，求随机变量 $Y=G(X)$ 的分布函数 $H(y)$ 。
第 3 题
### 【强化篇】第3题（选择题）
3．设 $X \circ Y$ 独立同分布于参数为 $\lambda$ 的指数分布，令 $Z=\max \{X, Y\}$ ，则与 $Z$ 同分布的是（）。
（A）$\displaystyle \frac{X+Y}{2}$
（B）$\displaystyle \frac{2 X+Y}{2}$
（C）$\displaystyle \frac{2 X+Y}{3}$
（D）$Y$
第 3 题
### 【基础篇】第3题（选择题）
3．设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ ，则（ ）。
（A）$X+Y$ 服从正态分布
（B）$X^{2}+Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布
（C）$X^{2} / Y^{2}$ 服从 $F$ 分布
（D）$X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布
第 4 题
### 【基础篇】第4题（选择题）
4．随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 。将试验 $E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X+Y$ 服从（ ）。
（A）$\displaystyle B\left(2, \frac{1}{3}\right)$
（B）$\displaystyle B\left(2, \frac{2}{3}\right)$
（C）$\displaystyle B\left(4, \frac{1}{3}\right)$
（D）$\displaystyle B\left(4, \frac{2}{3}\right)$
第 4 题
### 【基础篇】第4题（填空题）
4．设随机变量 $X$ 服从区间 $[-3,2]$ 上的均匀分布，令 $Y=\left\{\begin{array}{ll}-1, & X \leqslant-1, \\ 1, & X>-1,\end{array} Z=\left\{\begin{array}{ll}-1, & X \leqslant 1, \\ 1, & X>1,\end{array}\right.\right.$ 则 $P\{Y+Z=0\}=$ $\_\_\_\_$。
第 4 题
### 【基础篇】第4题（填空题）
4．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda=2$ 的泊松分布，则 $P\{X>D(X)\}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（选择题）
4．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于 $E(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0, F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，则与 $F(X)$ 同分布的是（ ）。
（A）$\displaystyle \frac{2 X}{X+Y}$
（B）$\displaystyle \frac{X}{Y}$
（C）$\displaystyle \frac{X+Y}{2 X}$
（D）$\displaystyle \frac{Y}{X+Y}$
第 4 题
### 【基础篇】第4题（选择题）
4．设 $n$ 为正整数，随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，常数 $c$ 满足 $\displaystyle P\{X>c\}=\frac{2}{5}$ ，则 $P\left\{Y \leqslant c^{2}\right\}=$ （ ）．
（A）$\displaystyle \frac{1}{5}$
（B）$\displaystyle \frac{2}{5}$
（C）$\displaystyle \frac{3}{5}$
（D）$\displaystyle \frac{4}{5}$
第 4 题
### 【强化篇】第4题（填空题）
4．设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$（ $\lambda>0$ 未知）的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，则 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量为 $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设 $X, Y$ 为随机变量，且 $\displaystyle P\{X \geqslant 0, Y \geqslant 0\}=\frac{3}{7}, P\{X \geqslant 0\}=P\{Y \geqslant 0\}=\frac{4}{7}$ ，求下列事件的概率：（1）$A=\{\max \{X, Y\} \geqslant 0\}$ ；（2）$B=\{\max \{X, Y\} \geqslant 0, \min \{X, Y\}<0\}$ ．
## 第2章 一维随机变量及其分布
第 5 题
### 【基础篇】第5题（选择题）
5．设随机变量 $X, Y$ 分别服从正态分布 $N(\mu, 9), N(\mu, 4)$ ，记 $p_{1}=P\{X \leqslant \mu-3\}, p_{2}=P\{Y \geqslant \mu+4\}$ ，则 ）。
（A）对于任何实数 $\mu$ ，都有 $p_{1}=p_{2}$
（B）对于任何实数 $\mu$ ，都有 $p_{1}p_{2}$
（D）对于 $\mu$ 的个别值，有 $p_{1}=p_{2}$
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $P\{X \geqslant Y\}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设 $X \sim f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0
第 5 题
### 【强化篇】第5题（填空题）
5．设总体 $X$ 服从分布 $P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k}, k=0,1,0
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}1, & \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $-\infty<\theta<+\infty . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本，并记
$$
X_{(1)}=\min \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}, X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\} .
$$
求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{L}$ ．
第 6 题
### 【基础篇】第6题（选择题）
6．设随机变量 $X$ 服从正态分布，其概率密度 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有驻点，且 $f(1)=1$ ，则 $X$ 服从分布（ ）。
（A）$N(1,1)$
（B）$\displaystyle N\left(1, \frac{1}{2 \pi}\right)$
（C）$\displaystyle N\left(1, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\right)$
（D）$N(0,1)$
第 6 题
### 【强化篇】第6题（填空题）
6．在区间 $[0,1]$ 上任取一点，将其分为两个区间，留下其中任一区间记其长度为 $X$ ，再从留下的区间上任取一点，将其分为两个区间，并取其中任一区间，记其长度为 $Y$ ，则 $E(Y)=$ $\_\_\_\_$。
第 6 题
### 【强化篇】第6题（选择题）
6．已知随机变量 $X, Y$ ，且 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{4 \pi} e^{-\frac{x^{2}}{2}-\frac{(y-1)^{2}}{8}}$ ，则 $\displaystyle \frac{4 X^{2}}{(Y-1)^{2}}$ 服从（ ）．
（A）$\chi^{2}(2)$
（B）$t(1)$
（C）$N\left(0,2^{2}\right)$
（D）$F(1,1)$
第 6 题
### 【强化篇】第6题（解答题）
6．设某手机每天销售量 $X$（单位：万台）的概率分布为
$$
X \sim\left(\begin{array}{ccc}
10 & 15 & 20 \\
\theta^{2} & \theta(1-\theta) & 1-\theta
$\end{array}\right),$
$$
其中 $0<\theta<1$ 为未知参数，且每天的退货率为 $5 \%$ ，现有一周的销售量： $15,10,10,15,20,20,15$ ．
（1）求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ；
（2）记 $Y$ 为每天的退货量，根据（1）中的 $\hat{\theta}$ ，求 $E(Y)$ ．
第 7 题
### 【基础篇】第7题（选择题）
7．设随机变量 $X$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $Y=-\ln X$ 服从（ ）。
（A）几何分布
（B）标准正态分布
（C）$t$ 分布
（D）指数分布