矩阵的定义

### 第234题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{3}+2 \boldsymbol{A}^{2}$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． 祬估 还可以 □不会

### 第235题 计算 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{9}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{10}=$ $\_\_\_\_$ . 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\ 1 & a & a \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & a \\ 1 & 2 & 2 a\end{array}\right]$ 等价，则 $a$ $\_\_\_\_$ . 建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第250题 已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ．三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B A}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。 建议荅题时问 ## 选择题

### 第256题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶方阵，其特征值分别为 $1,2,-3$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中主对角线元素的代数余子式之和 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$ $\_\_\_\_$。 掉似荅题时门 神在 䫞练 还可以 의 4 알 톨형

### 第259题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

### 第260题 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}$ 在正交变换下的标准形是 $\_\_\_\_$ ．

### 第265题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll} & \\ & 1 \\ 1 & \end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 1 & \\ & & -2\end{array}\right]$ 合同，求一个使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{C}=$ $\_\_\_\_$ ． 建社荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 禋估 熟练 还可以 ${ }_{\text {有点难 }}$ 不会 ## 诜 择 题

### 第268题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=3$ ，则 $|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$ （A）-4 ． （B） 9 ． （C） 16 ． （D）-9 ．

### 第269题 下列命题中，不正确的是 （A）若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ ． （B）若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 必可逆． （C）若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n \times 1$ 矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ ． （D）若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{B}^{2}$ ．

### 第270题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=$ （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{B}$ ． （B） $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$ ． （C） $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ． （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}$ ． 建议答题时问

### 第272题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right.$ ， $\left.2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$ （A）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． 建议荅题时问

### 第278题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，$\lambda=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，且为单根，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）$n-1$ ． （D）$n$ ． 建议答题时问

### 第290题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和（II） $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，现有四个命题 （1）（I）的解必是（II）的解； （2）（II）的解必是（I）的解； （3）（I）的解不是（II）的解； （4）（II）的解不是（I）的解． 以上命题中正确的是 （A）（1）（2）． （B）（1）（4）． （C）（3）（4）． （D）（2）（3）．

### 第293题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 是三阶可逆矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是三阶矩阵，且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & 4 a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & 4 a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & 4 a_{33} & a_{32}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 （A） $1,-1,4$ ． （B） $1,1,-4$ ． （C） $1,2,-2$ ． （D） $1,-1,2$ ．

### 第300题 n$ 元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 正定的充分必要条件是 （A）负惯性指数 $q=0$ ． （B）存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{E}$ ． （C）正惯性指数 $p=n$ ． （D）存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$ ． 建议荅题时问$

### 第312题 已知方程组 $$ $\left\{\begin{aligned}$ x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3} & =1, \\ x_{1}+2 x_{2}+(2 a-1) x_{3} & =1, \\ a x_{1}+2 x_{2}+a x_{3} & =1, $\end{aligned}\right.$ $$ 有无穷多解，求 $a$ 的值并求方程组的通解．

### 第313题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right]$ ，当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解？此时求方程组的通解． 建设荅题时问 $\leqslant 13 \mathrm{~min}$ sㅓㄴㅏㅜㄹ 㹂记

### 第316题 设方程组 $$ $\left\{\begin{aligned}$ x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =5, \\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =7, \\ 4 x_{1}+a x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4} & =11, $\end{aligned}\right.$ $$ （1）当 $a$ 为何值时方程组有解？并求其通解． （2）求方程组满足 $x_{1}=x_{2}$ 的所有解。 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$