📝 华南师范大学 2025年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+2005}}$ ．

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n}$ ．

3． $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．

4． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{2} \sin x}$ ．

5． $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}$ ．

1．设 $n$ 为正整数，$\displaystyle y=\frac{x^{n}}{2-x}$ ，求 $y^{(n)}$ ．

2．设 $\displaystyle u=f\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

3．求 $\displaystyle \int e^{-x}\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2} d x$ ．

4．计算 $\iint_{D}|\sin (x+y)| d x d y, D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．

1．（10 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n^{3} x^{3}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 内一致收敛．

2．（20 分）判断下列级数及反常积分的玫散性．
（a）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n^{q}}, q \geqslant 0$ ．
（b） $\displaystyle \int_{3}^{+\infty} \frac{\ln x}{(x-\sqrt{x}+2)^{q}} d x, q>0$ ．

3．（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^{2}-2 x-3}$ 在 $x=1$ 处的幂级数展开式．

4．（10 分）设在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上，$F(x, y)$ 关于 $x$ 连续，$F_{y}(x, y)$ 存在且有界．证明：$F(x, y)$ 在 $D$ 上连续．

三、讨论题． 10 分．
对于二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，如果两个累次极限存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ ．问 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 是否一定存在？请说明理由．