📝 华南师范大学 2026年数学分析真题

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-1) \quad(a>0)$ ．

3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt{1+x \arctan x}}{2 x^{2}}$ ．

4． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

5． $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{x \sin y}$ ．

1．计算定积分 $\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

2．计算 $\iint_{D} \sqrt{1-\sin ^{2}(x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right\}$ ．

3．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+t, \\ y=\ln (1+t),\end{array} \quad\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

4．已知 $\displaystyle u=f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

2．设 $f_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，求 $\alpha$ 的取值范围，使得函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收玫；

3．判断级数或反常积分敛散性
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}} \quad(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{c}} \frac{1}{x^{p} \ln x} \mathrm{~d} x \quad(p>0)$ ．

三、讨论题（10 分）
设二元函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq(0,0) \\ 0, & x^{2}+y^{2}=(0,0)\end{cases}
$$

分别讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续、偏导数存在时，$\displaystyle \alpha$ 的取值范围．

五、证明题（10 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$ ．

四、解答题（每题 10 分，共 40 分）
1 ．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}$ 的和；