📝 厦门大学 2023年高等代数真题

1．$n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\operatorname{det} A=2$ ，交换 $A$ 的第一行和第二行得到矩阵 $B$ ，则 $\operatorname{det}\left(B A^{*}\right)=?\left(-2^{n}\right)$

2．已知 $A=\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}, a_{1 j}=2023(j=1, \cdots, 4), \operatorname{det} A=a$ ，则 $\sum_{1 \leq i, j \leq 4} A_{i j}=?(2023 a)$

3．若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right), \alpha_{i}(i=1,2,3)$ 是线性无关的 3 维列向量，则 $A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩 $=$ ？（3）

4．已知 $V=\left\{\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & a \\ a+3 b & c & 0 \\ 0 & b-c & a\end{array}\right): a, b, c \in \mathbb{F}\right\}$ 按照通常运算作为线性空间，则 $\operatorname{dim} V=?(3)$

5.
$\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，$\varphi$ 在两个基下的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{ker} \varphi=?\left(L\left(e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)\right)$

6． $\operatorname{deg} f=4, f \in \mathbb{R}[\mathbf{x}], f=3\left(f, f^{\prime}\right) x\left(x^{2}+1\right)$ ，则 $f=?\left(3 x^{2}\left(x^{2}+1\right)\right)$

7．$\alpha, \beta \in \mathbb{F}^{n}, \beta^{T} \alpha=3$ ，则 $\alpha \beta$ 的特征值为？（ $0(n-1$ 重）， 3$)$

8．若 $n$ 阶方阵仅有特征值 1 且只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的不变因子为？
$\left(1, \cdots, 1,(\lambda-1)^{n}\right)$

9．$\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 是 $n$ 维欧式空间的非零正交向量组，$\left(\beta_{i}, \alpha_{j}\right)=0(i=1,2 ; j=1, \cdots, n-1)$
则 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 必定？（选择线性无关或者线性相关）（线性相关）

10．$f=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=?$ 时，$f$ 的规范型是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ．

二。已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), A x=\beta$ 有无穷多解。
（1）$a=? \quad$（2）求 $A x=\beta$ 的通解。

三．若 $A$ 是可逆实矩阵，证明：存在正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角阵且对角元全为正数．

五．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), 0<\operatorname{rank} A<n, \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} A^{2}$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}$ ．

八．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \exists f \in \mathbb{C}[\mathbf{x}]$ s．t．$\displaystyle \varphi f(\varphi)=\sigma$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式。

六．$A$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，且非对角元均小于 0 ，证明：$\displaystyle A^{-1}$ 的所有元素都大于 0 ．

四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明：
$\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.