📝 江西师范大学 2024年数学分析真题

1．$f(x)=|x|^{p}(p>0)$ ，计算 $f(x)$ 的导数，若存在不可导点，说明原因．

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

3．$f(x, y)=x^{y}$ ，求 $f$ 所有一阶、二阶偏导数，并求在点 $(1,4)$ 处到二阶的泰勒公式．（任何余项皆可）

4．求定积分 $\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x$ ．

5．求第二型曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中，$L$ 为 $(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0$ 且 $r \neq 1)$ ，逆时针方向．

2． $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \iiint_{1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}(p>0)$ 的玫散性．

1．$\exists \delta>0, \forall P \in[0,1] \times[0,1]$ ，存在 $\lambda \in \Lambda$ ，使 $U(P, \delta) \subset U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)$ ；

2．结合（1），进一步说明可以从 $\left\{U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)\right\}_{\lambda \in \Delta}$ 中选出有限个覆盖 $[0,1] \times[0,1]$ ．

2．$f(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续且有界，$\displaystyle g(x, y)=\frac{|f(x, y)|}{1+x^{2}+y^{2}}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上是否有最大值？（有的话请证明，没有的话请举出反例并说明原因）

七．设 $\displaystyle \left\{U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)\right\}_{\lambda \in \Delta}(\Lambda$ 是一个指标集 $\displaystyle )$ 是 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 的一个无限开覆盖，证明下列问题（不可以直接用有限覆盖定理）

三．判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 的一阶可导性．

二．1．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的收玫域及和函数．

五．$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的函数．证明：存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(1,+\infty), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \forall M>0, \exists x>M,|f(x)-A|<\varepsilon$.

八．1．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，证明 $\displaystyle g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有最大值．

六．$\displaystyle |f(x, y)| \leq F(x, y),(x, y) \in[0,1] \times[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y, \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N>0, \quad \sup _{x \in[0,1]} \int_{N}^{+\infty} F(x, y) d y<\varepsilon$ 。
（1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛；
（2）叙述 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 一致收玫的柯西准则，并由此和（1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

四．若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：存在子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{n_{k}}$ 绝对收玫．