📝 江西师范大学 2024年高等代数真题

1．当 $t=$ $\_\_\_\_$时，$f(x)=x^{2}+t x$ 与 $g(x)=x^{2}+4 x+t$ 有公共根．

2．在 $P^{2 \times 2}$ 中定义线性变换 $\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) X$ ，则 $\sigma$ 在基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵为
$\_\_\_\_$ ．

3．已知 $a, b$ 是数域 $P$ 上的两个固定的数，而

$$
W=\left\{\left(a, b, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P, i=3,4, \cdots, n\right\}
$$

是 $P$ 的子空间，则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

4．若实对称矩阵 $A$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 合同，则二次型 $X^{T} A X$ 的规范形为 $\_\_\_\_$

5．线性方程组 $x_{1}=2 x_{2}=\cdots=n x_{n}$ 的一个基础解系为 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $\alpha=(0,1,-1,0), A=\alpha^{T} \alpha$ ，其中 $\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，则 $A^{3}$ 的迹为 $\_\_\_\_$ ．

7．设三阶矩阵 $A$ 满足 $|E-A|=|2 E-A|=0$ ，且 $E+A$ 不可逆，则 $\left|E+A^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

8．设四阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-9\right)$ ，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

七．（20 分）设 $P$ 是数域，$\displaystyle V_{1}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶上三角矩阵的全体，$\displaystyle V_{2}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶反对称矩阵的全体．
（1）证明：$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的子空间，并分别求 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数；
（2）证明：$\displaystyle P^{n \times n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

三．（19 分）（1）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征向量，则由 $\displaystyle \alpha$ 生成的子空间 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \alpha$ 的不变子空间。
（2）证明：实数域 $R$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的任何线性变换 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或二维不变子空间。

二．（19 分）设 $p$ 是素数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

五．（20 分）设偶数阶的实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{3}+7 A^{2}+14 A+8 E=0$ ，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 为负定矩阵．

六．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle (n>1)$ 且 $\displaystyle \sigma$ 满足 $\displaystyle \sigma^{n-1} \neq 0$ ， $\displaystyle \sigma^{n}=0$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ；
（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形．

四．（20 分）（1）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times r$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle r \times s$ 矩阵且 $B$ 的秩为 $r$ ．证明：若 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ ．
（2）若 $\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle 3 \times 2$ 矩阵和 $\displaystyle 2 \times 3$ 的实矩阵且 $\displaystyle A B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．证明：$\displaystyle B A=4 E$ ．