📝 电子科技大学 2025年数学分析真题

1．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
2 ．已知 $\displaystyle z=x \ln \frac{x}{y}$ ，求 $\left.\mathrm{d}^{2} z\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．计算 $\oint_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x+y+z=0$ 的交线．

4．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{2} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ .

5．已知 $f(x)=x(\pi-x), x \in[0, \pi]$ ，展开为余弦级数为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知 $b>a>0$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

7．已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}: a_{1}=0, a_{2 m}=\frac{a_{2 m-1}}{2}, a_{2 m+1}=\frac{1}{2}+a_{2 m}$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的上下极限．

8．求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\tan u^{2}} \mathrm{~d} u$ ．

9．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{j}{j^{2}+k^{2}}$ ．

10．计算 $\displaystyle \int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为椭圆 $x^{2}-4 x+4 y^{2}=0$ ，取逆时针方向．

11．求第二类曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $S$ 为圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1(-1 \leq z \leq 1)$ ，方向为外侧。

12．$A$ 是由数码 0,1 组成的所有数列的集合，证明 $A$ 不可数．

13．证明函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．

14．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n+1) \cos (n-1)}{n^{p}}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p \leq 1$ 时发散．

15．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，但对任意的 $x$ 不绝对一致收敛．

16．（x）表示 $x$ 的小数部分，已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n x)}{n^{2}}(x \in \mathbb{R})$ ．
（1）求 $f(x)$ 所有间断点．
（2）证明 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积．

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}>a_{n}>0$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（2）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛。