设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续，则 $x=0$ 是函数 $g(x)=\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x}$ 的（ ）
如图，曲线段的方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\displaystyle\int_{0}^{a} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 等于（ ）
已知 $f(x, y)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ ，则（ ）
设函数 $f$ 连续。若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \displaystyle\frac{f\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D_{u v}$ 为图中阴影部分，则 $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial u}=(\quad)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则（ ）
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $\boldsymbol{A}$ 合同的矩阵为（ ）
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为（）
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则（ ）
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1, & |x| \leqslant c, \\ \displaystyle\frac{2}{|x|}, & |x|\gt c\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $c=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\displaystyle\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}}$ ，则 $\displaystyle\int_{2}^{2 \sqrt{2}} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ .
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,2, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 \boldsymbol{A}^{-1}-\boldsymbol{E}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
计算 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{x^{2}} \ln \displaystyle\frac{\sin x}{x}$ ．
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^{2}+y^{2}-z=\varphi(x+y+z)$ 所确定的函数，其中 $\varphi$ 具有二阶导数，且 $\varphi^{\prime} \neq-1$ ． （I）求 $\mathrm{d} z$ ； （II）记 $u(x, y)=\displaystyle\frac{1}{x-y}\left(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ ，求 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ 。
计算 $\iint_{D} \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ．
设 $f(x)$ 是周期为 2 的连续函数． （I）证明对任意的实数 $t$ ，有 $\displaystyle\int_{t}^{t+2} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ； （II）证明 $G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\left[2 f(t)-\displaystyle\int_{t}^{t+2} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t$ 是周期为 2 的周期函数．
设银行存款的年利率为 $r=0.05$ ，并依年复利计算。某基金会希望通过存款 $A$ 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，$\cdots$ ，第 $n$ 年提取 $(10+9 n)$ 万元，并能按此规律一直提取下去，问 $A$ 至少应为多少万元？
设 $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^{2} & 2 a & 1 & & & \\
& a^{2} & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^{2} & 2 a & 1 \\
& & & & a^{2} & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$
（I）证明行列式 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$ ；
（II）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$ ；
（III）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}= \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$. （I）证明 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关； （II）令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=i\}=\displaystyle\frac{1}{3}(i=-1,0,1), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y$. （I）求 $P\left\{\left.Z \leqslant \displaystyle\frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$ ； （II）求 $Z$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本。记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \quad T=\bar{X}^{2}-\frac{1}{n} S^{2} .
$$
（I）（超纲题）证明 $T$ 是 $\mu^{2}$ 的无偏估计量；（无偏估计为超纲概念，可改为＂证明 $E(T)=\mu^{2}$ 。＂）
（II）当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$ ．
\sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ ，得 $E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}$ ，
再由 $E\left(S^{2}\right)=\sigma^{2}$ ，得 $E(T)=E\left(\bar{X}^{2}\right)-\displaystyle\frac{1}{n} E\left(S^{2}\right)=\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}-\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}=\mu^{2}$ ，
于是 $T=\bar{X}^{2}-\displaystyle\frac{1}{n} S^{2}$ 为 $\mu^{2}$ 的无偏估计量．
（II）当 $\mu=0, \sigma=1$ 时， $\bar{X} \sim N\left(0, \displaystyle\frac{1}{n}\right)$ ，标准化得 $\sqrt{n} \bar{X} \sim N(0,1)$ ，于是 $n \bar{X}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ ，又 $\displaystyle\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=(n-1) S^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ，且 $\bar{X}$ 与 $S^{2}$ 独立，得
$$
\begin{aligned}
D(T) & =D\left(\bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(S^{2}\right)=\frac{1}{n^{2}} D\left(n \bar{X}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}(n-1)^{2}} D\left[(n-1) S^{2}\right] \\
& =\frac{2}{n^{2}}+\frac{2(n-1)}{n^{2}(n-1)^{2}}=\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}(n-1)}=\frac{2}{n(n-1)}
\end{aligned}
$$