矩阵的定义

### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{B}^{3}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]^{3}\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+a x_{2}-2 x_{3}=0, \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=1, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+(a+2) x_{3}=3\end{array}\right.$ 的系数矩阵为 $A$ ，自由项为 $b$ ，若 $A x=b$ 无解，$A^{\mathrm{T}} A x= \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解，则 $a=$ ）． （A）-1 （B） 1 （C）-3 （D） 3

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 经正交变换可化为标准形 $f=5 y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a=(\quad)$ 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-3 x_{2} x_{3}$ 的规范形为（）。 （A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （B）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ （C）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ （D）$-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$

### 【基础篇】第4题（填空题） 4．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ ，若 $(\boldsymbol{P A})^{2}=\boldsymbol{P A}, \boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵，则 $\boldsymbol{P}=$ $\_\_\_\_$ .

### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均是 3 阶矩阵，且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}^{2}-\boldsymbol{B C}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A^{99}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left[x_{1}+(a-2) x_{2}-2 x_{3}\right]^{2}+\left(x_{1}+a x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left[x_{1}+a x_{2}+(a-2) x_{3}\right]^{2}$ ．求： （1）方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解； （2）二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形．

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列说法中，正确的是 ． （A）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 只有零解 （B）$\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ C A B & O\end{array}\right] x=0$ 只有零解 （C）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=\mathbf{0}$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A B C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=\mathbf{0}$ 同解 （D）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A B} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C A B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] x=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C B} \\ \boldsymbol{A B} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 同解

### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵，则下列等式不成立的是（ ）。 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ （B）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$ （C）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{*}$ （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{\mathrm{T}}$

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，若 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=1,|-\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=-1,|2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $|3 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=~() ~ 。$ （A）-2 （B）-8 （C） 8 （D） 11

### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ a\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}\right]$ ． （1）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 能同时由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？若能表示，写出其表示式； （2）$a, b$ 为何值时，矩阵方程 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有解？若有解，求出其全部解。

### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是（ ）。 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似 （B）$A^{2}+A^{-1}$ 与 $B^{2}+B^{-1}$ 相似 （C） $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似 （D） $\boldsymbol{A}^{*}-\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{*}-\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似