矩阵的定义

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．已知矩阵方程 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 可以是（ ） （A）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$ （B）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$ （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$ （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{3} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{E}$ ，则必有（ ）。 （A）$r(\boldsymbol{A})=1$ （B）$r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=2$ （C）$[r(\boldsymbol{A})-1][r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})-2]=0$ （D）$[r(A)-1][r(A-E)-1]=0$

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数为 () 。 （A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 0

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为 3 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ．若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\right. \left.\alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right]$ ，则 $Q^{-1} A Q=(\quad)$ 。 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=4 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}(a>2)$ 的规范形为 () 。 （A）$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ （B）$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ （C）$y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ （D）$-y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．将 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，将 3 阶方阵 $\boldsymbol{C}$ 的第 3 列的 -3 倍加到第 1 列得到矩阵 $\boldsymbol{D}$ ．若 $\boldsymbol{B D}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A C}=$ ． （A）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 3\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 9 & 0 & 3\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ -6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right]$

### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}, g\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 的二次型矩阵为 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ ． （1）是否存在可逆矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，使 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}$ ？若存在，求出矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，若不存在，说明理由． （2）求 $\displaystyle \max _{x \neq 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ ，其中 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]$ 。

### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设平面 $\pi_{1}: x+a y=a, \pi_{2}: a x+z=1, \pi_{3}: a y+z=1$ ，已知这三个平面没有公共交点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第13题（解答题） 13．若可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 可将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 化为规范形 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，同时将二次型 $g\left(x_{1}, x_{2}\right)=-x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 化为标准形 $k_{1} y_{1}^{2}+k_{2} y_{2}^{2}$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及 $k_{1}$ ，$k_{2}$ 的值。

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & a & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & -a & -3\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，问 $a$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 不能相似于对角矩阵；$a$ 为何值时，$A$ 相似于对角矩阵，并求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\Lambda$ ．

### 【强化篇】第16题（选择题） 16．已知 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 经正交变换 $x=Q y$ 化为 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+a y_{3}^{2}(a \neq 0)$ ，且 $\displaystyle \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{a}\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则对任意 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ ，有（ ）。 （A）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)>0$ （B）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \geqslant 0$ （C）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)<0$ ． （D）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \leqslant 0$

### 【基础篇】第17题（填空题） 17．设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$。 ## 第2章 余子式和代数余子式的计算

### 【基础篇】第17题（选择题） 17．已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=1$ ，则 $\lambda=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其重数（ ． （A）必为 2 （B）可能为 2 或 3 （C）可能为 1 或 2 （D）可能为 1,2 或 3

### 【基础篇】第18题（填空题） 18．设 $\boldsymbol{A}$ 是 2 阶矩阵，有特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, f(x)=x^{2}-3 x+3$ ，则 $f(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第18题（选择题） 18．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ，则与 $\boldsymbol{A}^{2}$ 既相似又合同的矩阵是 ． （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$

### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则以下结论中： （1） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ； （2） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} ;$ （3） $\boldsymbol{A}^{*} \sim \boldsymbol{B}^{*}$ ； （4）$A B \sim B A$ ． 正确结论的个数是（ ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．在某一核反应堆中有 $\alpha$ 与 $\beta$ 两种粒子，若每秒钟 1 个 $\alpha$ 粒子分裂成 3 个 $\beta$ 粒子，且 1 个 $\beta$ 粒子分裂成 2 个 $\beta$ 粒子与 1 个 $\alpha$ 粒子．设在 $t=0$ 时刻，该反应堆中只有 1 个 $\alpha$ 粒子，记 $a_{n}, b_{n}$ 分别表示 $t= n$ 秒时 $\alpha$ 粒子、 $\beta$ 粒子的个数。 （1）证明 $\left[\begin{array}{c}a_{n} \\ a_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{n-1}\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$ ； （2）求 $t=n$ 秒时反应堆中的粒子总数 $a_{n}+b_{n}$ ．

### 【强化篇】第21题（选择题） 21．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{2}-3 x_{3} x_{1}=1$ 表示 $(\quad)$ 。 （A）椭球面 （B）双曲柱面 （C）双叶双两面 （D）单叶双曲面

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ ． （1）求矩阵 $\boldsymbol{C}$ ； （2）计算 $\boldsymbol{A}^{10}$ ． ## 第9章 二次型

### 【基础篇】第23题（选择题） 23．$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}=0$ 是（ ）． （A）柱面 （B）单叶双曲面 （C）双叶双曲面 （D）雉面