二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）

### 第10题 10．交换二重积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\mathrm{e}^{x}}^{\mathrm{e}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第114题 114 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第115题 115 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第116题 116 设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第118题 118 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第120题 120 设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第218题 218 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

### 第256题 256 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于 （A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ． （B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ． （C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ． （D） 0 ．

### 第261题 261 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 6 ．

### 第262题 262 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ． （B） $8 \pi$ ． （C） $10 \pi$ ． （D） $12 \pi$ ．

### 第263题 263 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．

### 第264题 264 设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ． 265 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$

### 第266题 266 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ． （B）$-\pi$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ． 267设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$

### 第268题 268 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ． 269 累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于