幂级数及其收敛性（阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间）

### 第426题 426 已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$P(A)=a, P(B)=b$ ．如果事件 $C$ 发生必然导致事件 $A$与 $B$ 同时发生，则 $A, B, C$ 都不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ．

### 第6题 6．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{n} x^{n}}{3^{n} n!}$ 的收敛半径 $R=$ （A）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{3}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}$ ．

### 第603题 603 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减的正数列，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n a_{n}}{a_{n+1}} x^{n}$ 的收敛区间是 $\_\_\_\_$。 604已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$。 □ 605设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

### 第606题 606 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．

### 第607题 607 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

### 第608题 608 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第609题 609 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．

### 第610题 610 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第611题 611 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第612题 612 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第614题 614 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．

### 第615题 615 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2} 2^{n}} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$。

### 第651题 651 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．

### 第652题 652 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．

### 第656题 656 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{n}}{n}$ 在 $x>0$ 处发散，在 $x=0$ 处收敛，则常数 $a$ 等于 （A） 0 ． （B）-1 ． （C） 1 ． （D） 2 ．