📝 北京大学 2022年强基真题

已知数列 $\displaystyle \left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ ，对任意正整数都有 $\displaystyle S_{n}=\frac{a_{n}^{2}+n^{2}}{2 a_{n}}$ ，问 $\displaystyle a_{100}$ 的整数部分为（ ）

已知 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，满足 $\displaystyle \angle B=2 \angle C,(A B+A C)$ ：$\displaystyle B C=14: 9$ ，求 $\displaystyle \cos C$ 。

对正整数 $\displaystyle \mathrm{n}, 874 \mathrm{n}$ 除以 100 的余数为 92 ，称有性质 P ，令 874 n 为 x ，对五位数 x ，问满足性质 P的 n 的平方和为

对实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{1}$ ，有 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=26,\left|x_{2}-x_{3}\right|=14,\left|x_{3}-x_{4}\right|=17,\left|x_{1}-x_{1}\right|=23$ ，问 $\displaystyle \left.\max \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right\}-\min \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right\}=()\right)_{0}$

$\displaystyle \cos \mathrm{A}=\mathrm{A}, \cos (\sin \mathrm{B})=\mathrm{B}, \sin (\cos \mathrm{C})=\mathrm{C}$ ，问 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的大小排序。

对体积为 1 的长方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，取 $\displaystyle A_{1} B_{1}$ 中点 $\displaystyle P$ ，取 $\displaystyle C C_{1}$ 中点 $\displaystyle Q$ ，取 $\displaystyle C D$ 中点 $\displaystyle R$ ，求 $\displaystyle V_{\text {A－PQR }}$ 。

已知三个复数 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 满足 $\displaystyle a+b+c=2022 i, \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{-i}{2022}$ ，问 $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=()$ 。

问一个六元素集合到一个三元素集合的满射共多少个？

已知正方形 ABCD ，边长为 $\displaystyle 1, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 在 $\displaystyle \mathrm{AB}, \mathrm{AD}$ 上，$\displaystyle \angle Q C P=\frac{\pi}{3}$ ，问 $\displaystyle S_{\triangle A B C}$ 的最大值。

对正实数 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 有 $\displaystyle \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=3$ ，问 $\displaystyle \mathrm{a}+\mathrm{ab}+\mathrm{abc}+\mathrm{abcd}$ 的最大值。

已知 $\displaystyle w=\cos \frac{\pi}{7}+i \sin \frac{\pi}{7}$ ，请写出以 $\displaystyle w, w^{3}, w^{5}, w^{9}, w^{11}, w^{13}$ 为根的一元六次方程。

已知抛物线 $\displaystyle y^{2}=4 x$ ，过 A （2．3）的直线切它于 $\displaystyle \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，求 $\displaystyle \triangle \mathrm{APQ}$ 的外接圆半径。

已知复数 $\displaystyle z$ 满足 $\displaystyle \left|z+\frac{6}{z}\right|=1$ ，求 $\displaystyle |z|$ 的最小值。

已知 $\displaystyle \mathrm{a} \geqslant 2, \mathrm{abc}=1$ ，求 $\displaystyle \frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a$ 的最小值。

已知正整数 $\displaystyle n$ 的各位数字的和的 13 倍等于其本身，问这样的正整数有几个。

已知正整数 $\displaystyle n$ 不大于 $\displaystyle 2022, n^{3}$ 除以 1000 的余数 111 ，则正整数 $\displaystyle n$ 的个数为？