📝 北京大学 2022年强基真题

已知 $\displaystyle 2 n+1$ 与 $\displaystyle 3 n+1$ 均为完全平方数且 $\displaystyle n$ 不超过 2022 ，则正整数 $\displaystyle n$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知凸四边形 $\displaystyle A B C D$ 满足 $\displaystyle \angle A B D=\angle B D C=50^{\circ}, \angle C A D=\angle A C B=40^{\circ}$ ，则符合题意且不相似的凸四边形 $\displaystyle A B C D$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知正整数 $\displaystyle y$ 不超过 2022 且满足 100 整除 $\displaystyle 2^{y}+y$ ，则这样的 $\displaystyle y$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle [x]$ 表示不超过 $\displaystyle x$ 的整数，如 $\displaystyle [1.2]=1,[-1.2]=-2$ ，已知 $\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，则 $\displaystyle \left[\alpha^{12}\right]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知六位数 $\displaystyle \overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}$ ，满足 $\displaystyle \frac{\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{f_{4} d_{5} d_{6}}=\left(1+\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}\right)^{2}$ ，则所有满足条件的六位数之和为 $\displaystyle \_\_\_\_$ －（ $\displaystyle \overline{f_{4} d_{5} d_{6}}$ 不必为三位数）

已知整数 $\displaystyle a, b, c, d$ 满足 $\displaystyle a+b+c+d=6$ ，则 $\displaystyle a b+a c+a d+b c+b d+c d$ 的正整数取值个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知凸四边形 $\displaystyle A B C D$ 满足：$\displaystyle A B=1, B C=2, C D=4, D A=3$ ，则其内切圆半径取值范围为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, z_{1}=5-a+(6-4 b) \mathrm{i}, z_{2}=2+2 a+(3+b) \mathrm{i}, z_{3}=3-a+(1+3 b) \mathrm{i}$ ，当 $\displaystyle \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 最小时， $\displaystyle 3 a+6 b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知复数 $\displaystyle z$ ，满足 $\displaystyle \frac{z}{2}$ 与 $\displaystyle \frac{2}{z}$ 的实部和虚部均属于 $\displaystyle [-1,1]$ ，则 $\displaystyle z$ 在复平面上形成轨迹的面积为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle S_{\triangle A B C}=\frac{c}{2}(a-b)$ ，其外接圆半径 $\displaystyle R=2$ ，且 $\displaystyle 4\left(\sin ^{2} A-\sin ^{2} B\right)=(\sqrt{3} a-b) \sin B$ ，则 $\displaystyle \sin \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

在梯形 $\displaystyle A B C D$ 中，$\displaystyle A D / / B C, M$ 在边 $\displaystyle C D$ 上，有 $\displaystyle \angle A B M=\angle C B D=\angle B C D$ ，则 $\displaystyle \frac{A M}{B M}$ 取值范围为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle \sqrt{1-x^{2}}=4 x^{3}-3 x$ ，则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

若 $\displaystyle A$ 为 + 进制数，$\displaystyle A=\overline{a_{0} a_{1} \ldots a_{n}}$ ，记 $\displaystyle D(A)=a_{0}+2 a_{1}+2^{2} a_{2}+\cdots+2^{n} a_{n}$ 。已知 $\displaystyle b_{0}=2033^{10}, b_{n+1}=D\left(b_{n}\right)$ ，则 $\displaystyle b_{2022}$ 各位数字的平方和 $\displaystyle \_\_\_\_$ 200 （横线上填大于，小于或等于）．

已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=12, a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3+a_{n}+3 \sqrt{1+2 a_{n}}\right)$ ，则 $\displaystyle a_{10}$ 最接近的整数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle f(x)$ 是二次函数，$\displaystyle f(-2)=0$ ，且 $\displaystyle 2 x \leq f(x) \leq \frac{x^{2}+4}{2}$ ，则 $\displaystyle f(10)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知数列 $\displaystyle \left\{a_{k}\right\}_{1 \leq k \leq 5}$ 各项均为正整数，且 $\displaystyle \left|a_{k+1}-a_{k}\right| \leq 1,\left\{a_{k}\right\}$ 中存在一项为 3 ，可能的数列的个数＿。

将不大于 12 的正整数分为 6 个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有 $\displaystyle \_\_\_\_$种。

已知 $\displaystyle y, f, d$ ，为正整数，$\displaystyle f(x)=(1+x)^{y}+(1+x)^{f}+(1+x)^{d}$ ．其中 $\displaystyle x$ 的系数为 10 ，则 $\displaystyle x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

若 $\displaystyle \triangle A B C$ 三边长为等差数列，则 $\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

求内接于椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的菱形周长的最大值和最小值之和。 其一般情形即：求内接于椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的菱形周长的最大值和最小值之和。