📝 复旦大学 2023年强基真题

函数 $\displaystyle f(x)=-3 \cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2} x\right)$ 的最小正周期是 。

集合 $\displaystyle A=\{x \mid x\lt -1$ 或 $\displaystyle x \geq 3\}, B=\{x \mid a x+1 \leq 0\}$ ，若 $\displaystyle B \leq A$ ，则实数 $\displaystyle a$ 取值范围为 。

设单位向量 $\displaystyle \vec{a}$ 与非向量 $\displaystyle \vec{b}$ 内夹角为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$ ，且 $\displaystyle |\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}|\vec{a}|$ ，则 $\displaystyle |\vec{a}-t \vec{b}|$ 的 min 为 。

若函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x+1, & (-2 \leq x\lt 0) \\ 2 \sin (\omega x+\varphi) & \left(x\gt 0, \omega\gt 0,0\lt \varphi\lt \frac{\pi}{2}\right)\end{array}\right.$ 的部分图象如图，则 。

设 $\displaystyle O$ 为原点，$\displaystyle P$ 是以 $\displaystyle F$ 为焦点的抛物线 $\displaystyle y^{2}=4 x$ 上任意一点，若 $\displaystyle M$ 为线段 $\displaystyle P F$ 中点，则直线 $\displaystyle O M$斜率最大为 。

已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}$ ，设 $\displaystyle S_{m}=\frac{3 a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{3 a_{2}}{a_{2}+1}+\cdots+\frac{3 a_{m}}{a_{m}+1}$ ，若 $\displaystyle S_{m}\lt 2020$ ，则正整数 $\displaystyle m$ 的 max 为 。

在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中， $\displaystyle 2 \sin (A+B)+\sin A \sin B$ max 为 。

What is the number of terms with rational coefficients among the 1001 terms of the expression $\displaystyle (x \cdot \sqrt[3]{2023}+y \sqrt{2})^{1000}$ 。

在棱长为 2 的正方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$\displaystyle M$ 为 $\displaystyle C C_{1}$ 中点，$\displaystyle N$ 为四边形 $\displaystyle A_{1} D_{1} D A$ 内一点（含边界），若 $\displaystyle B_{1} N / /$ 面 $\displaystyle B M D$ ，则下列结论正确的是 。

若复数 $\displaystyle Z$ 满足 $\displaystyle Z \cdot \bar{Z} \cdot(Z+2) \cdot(Z-2)=12$ ，则 $\displaystyle |Z+\sqrt{3} i|=$ 。

已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} a b x+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)$ 为偶函数，$\displaystyle g(x)=3^{x}+\frac{a+b}{3^{x}}$ 为奇函数，$\displaystyle a, b \in C$ ，则 $\displaystyle \sum_{k=1}^{2023}\left(a^{k}+b^{k}\right)=(\quad)$ 。

Let $\displaystyle f(x)=x^{2}(1-x)^{2}$ ．What is the value of the sum $\displaystyle f\left(\frac{1}{2023}\right)-f\left(\frac{2}{2023}\right)+f\left(\frac{3}{2023}\right)-f\left(\frac{4}{2023}\right)+\cdots+f\left(\frac{2021}{2023}\right)-f\left(\frac{2022}{2023}\right)=(\quad)$ 。

$\displaystyle 3 \vec{a}+4 \vec{b}+5 \bar{c}=\overrightarrow{0}$ ，且 $\displaystyle |\vec{a}|=20,|\vec{b}|=15,|\vec{c}|=12 . \vec{a}$ 与 $\displaystyle \vec{b}$ 夹角为（）。