📝 复旦大学 2023年强基真题

在十六进制下，求 $\displaystyle \frac{F E D C B A 987654321-1}{123456789 A B C D E F+1}$ 的值，其中 $\displaystyle (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)$ 。

任给一个椭圆，若平面内一条射线和椭圆有相交，作该交点在椭圆上的切线，若该射线和切线垂直，称此射线垂直于椭圆。现在，椭圆内有一点 $\displaystyle M$（不在坐标轴上），求以 M 为原点的垂直于椭圆的射线的数目。

正五边形 $\displaystyle A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ 各顶点在单位圆上，$\displaystyle P$ 是单位圆上一动点，下列说法错误的是 。 A．$\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\left|P A_{i}\right|^{2}=10$ B． $\displaystyle \max _{\text {P過历单位圆 }} \prod_{i=1}^{5}\left|P A_{i}\right|=2 \sqrt{5}+2$ c．$\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\left|P A_{i}\right|^{4}=30$ D． $\displaystyle \max _{\text {P通历单位圆 }} \sum_{i=1}^{5}\left|P A_{i}\right|=2 \sqrt{5}+2$

设地球上某点的纬度为 $\displaystyle \theta$ ，太阳光与赤道平面夹角为 $\displaystyle \alpha, \alpha, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求该点处一天受到日照的总时长（单位：$\displaystyle h$ ）。

求值：$\displaystyle \frac{1}{2}+\cos \frac{\pi}{1012}+\cos \frac{2 \pi}{1012}+\cdots+\cos \frac{2023 \pi}{1012}$ 。

设 $\displaystyle f(x)$ 为 5 次多项式，满足对于 $\displaystyle k \in\{0,1,2,3,4,5\}$ ，有 $\displaystyle f(k)=\frac{k}{k+1}$ ，求 $\displaystyle f(6)$ 。

设 $\displaystyle f(z)=\frac{2-z}{z}$ ，求 $\displaystyle \underbrace{f(f(\cdots f(z))) \text { 关于 } n, z \text { 的表达式。 }}_{n}$

设椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1, M\left(4, \frac{9}{5}\right), N\left(-4,-\frac{9}{5}\right)$ 为椭圆上两点，求椭圆上点 $\displaystyle P$ 的个数，满足 $\displaystyle \angle M P N=105^{\circ}$＂

在 R 上， $\displaystyle 5^{x}-3^{2-x}=1$ 有几个解？

在 $\displaystyle 5 \times 5$ 的正方形表格中，取每个小正方形的中心，则有多少个以这些中心为顶点的正三角形？

对于函数 $\displaystyle f$ ，＂$\displaystyle \exists b\gt 0, \exists c\gt 0, \forall|x|\lt c,|f(x)|\lt b$＂的否命题是？

在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle A B 、 B C 、 C A$ 上分别取点 $\displaystyle F 、 D 、 E, a, b, c \in(0,1)$ 且 $\displaystyle \frac{A F}{A B}=c, \frac{B D}{B C}=a, \frac{C E}{C A}=b$ ，用 $\displaystyle a, b, c$ 表示 $\displaystyle \frac{S_{\triangle D E F}}{S_{\triangle A B C}}$ 。

设 $\displaystyle q$ 为复数，$\displaystyle \alpha, \beta$ 为固定整数，记数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{n}=q^{n^{2}+\alpha n+\beta}$ ，若 $\displaystyle a_{n} a_{n+5}=a_{n+1} a_{n+4}+a_{n+2} a_{n+3}$ ，则有多少个 $\displaystyle q$ 符合条件？

甲与乙约定在 14：00～15：00 会面，两个人均会在这 1 小时内的某个随机时刻到达会面地点，甲将会在等待 20 min 后离开，乙将会在等待 30 min 后离开，求甲与乙成功会面的概率。

求值： $\displaystyle 2 \arctan \frac{1}{2}+\arctan \left(\frac{1-\tan \left(2 \arctan \frac{1}{2}\right)}{1+\tan \left(2 \arctan \frac{1}{2}\right)}\right)$ 。

用单词 statistics 的字母组词，用其中 5 个字母可组成的不同单词个数为？（此处单词指广义单词，如＂sstti＂即为一个单词）。

设 $\displaystyle a, b, c\gt 0, a+b+c=1$ ，方程 $\displaystyle a x^{2}+b x+c=0$ 有实根，求 $\displaystyle \max \{a, b, c\}$ 的最小值。

设 $\displaystyle A, B$ 为椭圆上定点，作以 $\displaystyle A B$ 为对角线的四边形 $\displaystyle A B C D$ ，使得 $\displaystyle C, D$ 分别在 $\displaystyle A B$ 两侧且在椭圆上，问存在多少条线段 $\displaystyle C D$ ，使四边形 $\displaystyle A B C D$ 的面积最大。

设 $\displaystyle m$ 为正整数，则方程 $\displaystyle C_{2 m+1}^{1} x^{m}-C_{2 m+1}^{3} x^{m-1}+\cdots+(-1)^{m-1} C_{2 m+1}^{2 m-1} x+(-1)^{m}=0$ 的 $\displaystyle m$ 个实根为 $\displaystyle \_\_\_\_$。