📝 上海交通大学 2023年强基真题

$\displaystyle x, y \in R$ ，满足 $\displaystyle 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 2, S=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2}$ ，求 $\displaystyle S_{\text {max }}+S_{\text {min }}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}, \quad a_{0}=\frac{1}{4}$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2023} \frac{1}{a_{n}+1}$ 的整数部分 $\displaystyle \_\_\_\_$。

$\displaystyle x=\min \left\{1, a, \frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right\}, a, b \in R^{+}$，求 $\displaystyle x$ 的最大值。

$\displaystyle M=\{(x, y)| | x|+|y|\lt 1\}$ ， $\displaystyle P=\left\{(x, y) \left\lvert\, \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}\lt 2 \sqrt{2}\right.\right\}$ $\displaystyle N=\{(x, y)| | x+y|\lt 1,|x|\lt 1,|y|\lt 1\}$ 求 $\displaystyle M, P, N$ 关系，如 $\displaystyle M \subset N \subset P$ 。

正方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$\displaystyle M$ 是 $\displaystyle C_{1} D_{1}$ 中点，$\displaystyle O$ 是 $\displaystyle B D_{1}$ 中点，平面 $\displaystyle \beta$ 满足 $\displaystyle O M / /$ 平面 $\displaystyle \beta$ 且过 $\displaystyle B$ 点，平面 $\displaystyle \beta$ 异于平面 $\displaystyle B B_{1} C_{1} C, P$ 在平面 $\displaystyle \beta$ 内，若 $\displaystyle P$ 在正方形 $\displaystyle B B_{1} C_{1} C$ 内（包括边界）记 $\displaystyle A_{1} P$与平面 $\displaystyle B B_{1} C_{1} C$ 成角度 $\displaystyle \theta$ ，求 $\displaystyle \tan \theta$ 最小值。

椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，左右焦点为 $\displaystyle F_{1}, F_{2}$ ，下顶点 $\displaystyle A$ ，连接 $\displaystyle A F_{2}$ 并延长交椭圆于 $\displaystyle B$ ，若 $\displaystyle |A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，求离心率。

圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 与曲线 $\displaystyle \| x|-|y||=1$ 的所有交点依次连接可构成一个正多边形，求 $\displaystyle R$ 。

任给一组整数，必能找出三个数，它们三个数的和可被 3 整除，则这组整数的个数至少为 $\displaystyle \_\_\_\_$个。

$\displaystyle \alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，比较 $\displaystyle (\cos \alpha)^{\sin \alpha},(\sin \alpha)^{\sin \alpha},(\cos \alpha)^{\cos \alpha}$ 大小。

曲线 $\displaystyle 2(4 \sin \theta-\cos \theta+1) x^{2}-(-\sin \theta+4 \cos \theta+3) y=0$ 与 $\displaystyle y=2 x$ 交于 $\displaystyle A, B$ 两点，取遍 $\displaystyle \theta$ 的值，求 $\displaystyle |A B|_{\text {max }}$ 。

八个人围着圆桌坐成一圈，抛硬币，抛到正面站起来，抛到反面仍旧坐着。问一圈硬币抛完，不存在相邻两人都站着的概率是多少？

复旦大学三位一体骰子抛三次，点数为 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3},\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$ 的概率是多少？

取正方体六个面的中点，连成八面体，该八面体与正方体体积之比？