第1题
设 $\displaystyle |\vec{b}|=|\vec{a}|=|\vec{c}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle (\vec{a}+\vec{b})(2 \vec{b}-\vec{c})$ 的最小值为（ ）
第2题
已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ，记数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle S_{n}$ ，则（）。
第3题
设 $\displaystyle B$ 是椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt 0)$ 的上顶点，若 $\displaystyle C$ 上的任意一点 $\displaystyle P$ 都满足 $\displaystyle |P B| \leq 2 b$ ，则 $\displaystyle C$ 的离心率的取值范围是（ ）。
第4题
设 $\displaystyle a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$ ，已知 $\displaystyle 5^{5}\lt 4^{8}, 8^{5}\gt 4^{13}$ ，求 $\displaystyle a . b . c$ 的大小关系。
第5题
设 $\displaystyle f(x)=x^{2}, g(x)=\ln x$ ，求当 $\displaystyle |f(x)-g(x)|$ 取最小值时 $\displaystyle x$ 的值。
第6题
设 $\displaystyle A=(0,0), B=(1,3), P A \perp P B$ ，求 $\displaystyle |\overrightarrow{P A}|+|\overrightarrow{P B}|$ 的最小值。
第7题
设 $\displaystyle x=-\frac{t}{2 a}, y=\frac{t^{2}}{4 a^{2}}-c$ ，求 $\displaystyle y$ 关于 $\displaystyle x$ 的图像的轨迹是（ ）。 A．抛物线一部分 B．抛物线
第8题
在正方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $\displaystyle A$ 的平面 $\displaystyle \alpha \|$ 平面 $\displaystyle C B_{1} D_{1}, \alpha \cap$ 平面 $\displaystyle A B C D=m, \alpha \cap$ 平面 $\displaystyle A B B_{1} A_{1}=n$ ，求 $\displaystyle m, n$ 的夹角正弦。 
第9题
设正八边形 $\displaystyle A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的边长为 $\displaystyle 2, P$ 为正八边形上任意一点，求 $\displaystyle \overrightarrow{A_{1} A_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{1} P}$ 的最小值。 
第10题
设圆 $\displaystyle C$ 过点 $\displaystyle (3,4)$ ，半径为 1 ，则圆心 $\displaystyle A$ 到原点的最短距离为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第11题
设椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，长轴顶点为 $\displaystyle A, B$ ，若存在 $\displaystyle C$ 上除 $\displaystyle A, B$ 外的一点 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle \angle A P B=\frac{2}{3} \pi$ ，求 $\displaystyle b$ 的取值范围。
第12题
设数列 $\displaystyle 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1 \cdots$ 以此类推，若 $\displaystyle k\gt 100$ 为正整数，使得 $\displaystyle S_{k}=2^{p}$（ $\displaystyle p$ 为整数），则 $\displaystyle k$的最小值为（ ）。
第13题
在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle D$ 为 $\displaystyle B C$ 边上靠近 $\displaystyle B$ 的三等分点，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle A C$ 边上靠近 $\displaystyle A$ 的三等分点，$\displaystyle F$ 为 $\displaystyle A B$ 边上靠近 $\displaystyle B$ 的三等分点，则 $\displaystyle \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C F}+\overrightarrow{B E}$ 与 $\displaystyle \overrightarrow{A B}$ 的位置关系为 。
A. 同向平行B. 反向平行C. 垂直D. 其它 
第14题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{x}, x \leq 0 \\ \ln x, x\gt 0\end{array}, g(x)=f(x)+x+1\right.$ ，若 $\displaystyle g(x)+a=0$ 有两解，求 $\displaystyle a$ 的取值范围。
第15题
设 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{100}$ 为平面上的 100 条直线，满足所有 $\displaystyle a_{4 k}$ 直线相互平行，所有 $\displaystyle a_{4 k-3}$ 直线交于一点 $\displaystyle (k \in \left.\mathbb{N}^{*}\right)$ ，求这 100 条直线最多有多少个交点？
第16题
设 $\displaystyle x, y, z\gt 0$ 满足 $\displaystyle \left(x^{2}-3 x y+4 y^{2}\right) z=x y$ ，求 $\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}$ 的最小值。
第17题
设抛物线 $\displaystyle C: y^{2}=4 x$ ，直线 $\displaystyle l$ 过焦点 $\displaystyle F$ 且与抛物线 $\displaystyle C$ 交于 $\displaystyle A, B$ 两点，满足 $\displaystyle |A F|=3|B F|$ ，且点 $\displaystyle A$ 在 $\displaystyle x$ 轴上方，求直线 $\displaystyle l$ 的斜率。 
第20题
设 $\displaystyle f(x)=\sin 2 x, g$ 是 $\displaystyle f$ 向左平移 $\displaystyle \varphi$ 个单位的函数， $\displaystyle 0\lt \varphi\lt \frac{\pi}{2},\left|g\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|=2$ ，且 $\displaystyle x_{2}-x_{1}= \frac{\pi}{3}$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 的值。
第21题
若 $\displaystyle \sin \left(\frac{\pi}{6}-\varphi\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $\displaystyle \cos \left(\frac{2}{3} \pi+2 \varphi\right)=$ ？
第23题
设在 $\displaystyle \triangle O A B$ 中，$\displaystyle A O$ 上除 $\displaystyle O$（包含 $\displaystyle A$ ）有 2023 个点，$\displaystyle B O$ 上同理，问这些点能构成多少个三角形？ 
第24题
设 $\displaystyle a, c$ 是正常数，$\displaystyle \left(x_{t}, y_{t}\right)$ 是抛物线 $\displaystyle y=a x^{2}+t x+c$ 的顶点，求 $\displaystyle \left(x_{t}, y_{t}\right)$ 当 $\displaystyle t$ 变化时构成的图形。
第25题
若过点 $\displaystyle (a, b)$ 能作函数 $\displaystyle y=e^{x}(x \in \mathbb{R})$ 的图像的两条切线，求对于 $\displaystyle a, b$ 的限制条件。
第26题
已知正四棱锥的侧棱长为 $\displaystyle l$ ，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为 $\displaystyle 36 \pi$ ，且 $\displaystyle l \in[3,3 \sqrt{3}]$ ，则该正四棱雉体积的取值范围是 。