5.3 与反常积分有关的极限

1．设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：$\displaystyle A=0$ ．

2．若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调下降，证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ； （3）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle x f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．

4．分析 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 的关系．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0 ;+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，是否必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若是，请证明；若不是，请举反例，并说明对 $\displaystyle f(x)$ 加一点什么条件就能保证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）举例说明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，但不一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。在前面的条件下再加什么条件，一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，问 $\displaystyle f(x)$ 是否在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

6．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $\displaystyle +\infty$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 为单调函数，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．

7．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明若 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c$（ $\displaystyle c$ 为常数），则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，则存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} f\left(x_{n}\right)=0$ ．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足条件 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ；（2）存在数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(y_{n}\right)=0$ 。

11．已知 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x<+\infty$ ．证明：（1）存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ 满足：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 严格单调递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ 。北京大学 2009，云南大学 2011，华中师大 2010）

12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle g(x)>0, f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在任意有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $\displaystyle x>a$ 时，$\displaystyle g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $\displaystyle f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．

分析：即证 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $\displaystyle g(x)>0$ ，需证

$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$

13．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0^{+}} h \sum_{n=1}^{\infty} f(n h)=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上单调，且 $\displaystyle x=0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的瑕点， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$

14．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续，且 $\displaystyle f(x)<2$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有一阶连续的导数， $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ．

16．设对任意实数 $\displaystyle A>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$（ $\displaystyle B$ 有限），证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} f(x) \mathrm{d} x=$ B．（华东师大 2015，苏州大学 2013，四川大学 2009，南开大学 2010，浙江大学 2009，山东大学 2010（ $\displaystyle B=2$ ））

17．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上内闭可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle a>1$ ．证明：
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{+\infty} a^{-y x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。

18．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} f\left(\frac{x}{n^{1+\alpha}}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．（南京大学 2006，上海大学 2003（ $\displaystyle \alpha=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛。证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\sqrt{n}} f\left(\frac{x}{n}\right) \varphi(x) \mathrm{d} x=f(0) \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x . \text {. }
$$

（3）设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负， $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} g(x) \mathrm{d} x=\alpha$（ $\displaystyle \alpha$ 为有限数），又 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} t^{-1} g\left(t^{-1} x\right) f(x) \mathrm{d} x=\alpha f(0)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-t^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(0)$ ．